Introduction - index

§ 5. Eclatements globaux 197
Cn U et C 1 1'adherence de ir -1 (Co). Alois, C" est une courbe projective,
la restriction de TT a C" est un morphisme fini birationnel, c'est un isomorphisme
sauf au-dessus de P (done C" est non singuliere en dehors de
la fibre de P). De plus, si C n'est pas tangente a la droite X = 0 en
P (ce qu'on peut toujours supposer, quitte a faire une homographie), TT
est isomorphe au voisinage de P a un eclatement affine. En particulier,
puisque P est ordinaire, C" est non singuliere aussi au-dessus de P, done
non singuliere partout et on a bien desingularise C.
Traitons maintenant le cas general d'une courbe ordinaire C avec
plusieurs points singuliers Pl5...,Pn € P 2 . On peut supposer que ces
points ont pour coordonnees homogenes Pj = (a^, &;, 1). On se place alors
dans le produit P 2 x P 1
P 1 du plan P 2 avec n copies de la droite P 1 ,
muni des coordonnees (x, y, z; wi, v\\ \un,vn} (partiellement homogenes).
On considere, dans ce produit, la sous-variete fermee B definie
par les equations Ui(x — aiz} — Vi(y — 6^), pour i = 1,..., n. On verifie
que B est une surface irreductible et que la projection de B sur
P 2 est un isomorphisme sauf au-dessus des points Pj. En Pj la fibre £?»
est la droite (dite exceptionnelle) dont les points ont pour coordonnees
x = di, y = 6j, z — 1, Uj = bj — &i, Vj — o,j—a^ si j ^ i et Ui, Vi quelconques.
Si U (resp. V) est 1'ouvert de P 2 (resp. B} complementaire des Pi (resp.
des E{], TT induit un isomorphisme de V sur U et, au voisinage de Pj,
il est isomorphe a un eclatement affine. Si on pose alors Co = C n U
et C' = ir~ l (Co), on montre comme precedemment que C' est la desingularisation
cherchee de C.
c. Le theoreme sur le genre des courbes ordinaires
Le theoreme suivant permet de calculer la variation du genre arithmetique
dans un eclatement global :
Theoreme 5.9. Solent C et X des courbes projectives irreductibles et
TT : X —> C un eclatement global On a la formule :
la somme etant etendue a tous les centres d'eclatements.
(On rappelle que pa designe le genre arithmetique et //p la multiplicite
de C en P.)