Introduction - index

4. Dimension du groupe orthogonal
Exercices 101
On note O(n, k} 1'ensemble des matrices n x n a coefficients dans k
qui verifient 1 AA = /„.
a) Montrer que O(n,k] est un sous-groupe de GL(n,k] et que c'est
une variete affine. Montrer que Ton a dimO(n, k} > n(n — l)/2.
b) Soient S = [x = (zi,..., xn) € fc" E? ^ 2 = 1} et e = (1,0,..., 0),
e 6 5. Montrer que 1'application (f> : O(n, k} —» 5, definie par (p(A) = At
est un morphisme surjectif. Determiner les fibres de (p et en deduire, par
recurrence sur n, la dimension de O(n, A;). 4
5. Dimension du commutorium
On se propose de calculer la dimension de la variete affine :
C = {(A, B) € Mn(jfc) x Mn(fc) | AB = BA}.
On rappelle les resultats suivants sur les matrices (on suppose connue
la reduction de Jordan).
1) Si A € Mn(fc), le commutant C(A) = {B e Mn(k) AB = BA}
est un A;-espace vectoriel de dimension > n.
2) On a dimC(A) = n si et seulement si la reduite de Jordan est
complete, i.e. si pour chaque valeur propre A le bloc correspondant est
HP la fnrmp
On dit alors que A est une matrice generique.
a) Montrer que les matrices generiques forment un ouvert U de Mn(fc).
b) Soit A une matrice quelconque. Montrer que C(A) contient une
matrice generique (on se ramenera au cas oil A est sous forme de Jordan).
c) Soient p\ et p2 les projections de C sur Mn(A;). Montrer que Q =
Pi l (U} \Jp2 l (U) est un ouvert de C de dimension n 2 -f n.
4 On peut montrer, en utilisant le probleme V, 6, que toutes les composantes irreductibles
de O(n, k) ont meme dimension. On peut montrer aussi que ces composantes
sont O + (n,k) - {A e O(n,k) \ det(A) = 1 } et O~(n,k) (qui correspond a
det(A) = -1).