Introduction - index

Exercices B 79
Si J est un ideal de k[X0,..., Xn], J\> est 1'ideal de k[Xi,..., Xn] engendre
par les PI,, pour P e J.
Si V (resp. W) est un ensemble algebrique de A n (k) (resp. P n (fc)),
de la forme V = V(I) (resp. W = V(J}}, V* (resp. Wb) est 1'ensemble
algebrique de P n (fc) (resp. A n (fc)) defini par /" (resp. Jb).
1) Montrer que les operations b et j} sont croissantes sur les ensembles
algebriques.
2) a) Montrer que Ton a (V*\ = V.
b) Montrer que V" est 1'adherence de V dans P n .
c) Montrer que si V = V\ U U VT est la decomposition de V en
composantes irreductibles, les 1^" sont les composantes irreductibles de
0.
3) a) Montrer que Ton a Wb = W n U0.
b) On suppose qu'aucune composante irreductible Wi de VF n'est incluse
dans H0. Montrer que Ton a (Wi,)* = W et que les composantes de
W\, sont les W^.
4) Montrer que / est radical si et seulement si /" Test. Montrer que si
J est radical J\, Test. Etudier la reciproque. Montrer que /(V*) = /(V)'
et /(Wb) = /(W)b.
5) Soit / 1'ideal de Jfc[X, K, Z] engendre par F et G avec F = F - Z 2
et G = X - Z 3 . L'ideal 7 11 est-il engendre par F 8 et G 8 ? (cf. Exercice II,
4.)
2. Resolution d'un module gradue
Soit R un anneau noetherien gradue, R = ©n>o-^n et M un .R-module
gradue de type fini, M — 0n6zMn- On note M(ri) le module decale defini
par M(n)p = Mn+p.
1) Montrer que M est engendre par un nombre fini d'elements homogenes.
2) Montrer qu'il existe un homomorphisme surjectif p : L0 —* M, ou
L0 est un -R-module gradue de la forme ©j;=1.R(7ii), et ou p est homogene
de degre zero : p envoie un element de degre n sur un element de degre
n.
3) Montrer que M admet une resolution graduee, i.e. qu'il existe une
suite exacte :
avec les Li de la forme ci-dessus et les Ui homogenes de degre zero. (On
pourra considerer les noyaux de p et des Wj.)