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des (x,y). b. Modification du plan § 4. Eclatements affines 189 Figure 1 On considere le morphisme ^ : k 2 —» k" 2 qui a (x, t) associe (x, y) = (x, xt). C'est un morphisme birationnel, d'image U(J{P} ou [7 est 1'ouvert x ^ 0 et P le point (0,0). Sur £7 la reciproque de TJJ est donnee par (x, y) i—> (x, y/x) qui est un isomorphisme de £7 sur 1'ouvert t/}~ l (U] (defini lui aussi par x ^ 0). La fibre L = ip~ l (P] est la droite (exceptionnelle) d'equation x = 0. Soit C une courbe du plan des (x, y), Co = C D £7, CQ = / ^~ 1 (Co) (qui est isomorphe a CQ par ^) et soit C' 1'adherence de C'Q. Proposition 4.1. On suppose C = V(F] avec F € fc[Jt, Y] irreductible. On ecrit F = Fr-\ h Fn avec r = //p(C) < n — deg F et Fi homogene de degre i. Alois on a C' = V(F') avec et ijj\c' est un morphisme birationnel de C' dans C qui induit un isomorphisme de C'Q sur CQ. Demonstration. On a ^(C) = V(F^) avec F^(X,T] = F(X,XT) = X r Fr(l, T) 4- + X n Fn(l, T) = X r F'(X, T). On peut encore ecrire cela sous la forme F(X, Y} = X r F'(X, Y/X] et on en deduit aisement que F' est irreductible. Si maintenant on a (x, t) € k 2 avec x ^ 0, dire que (x, t} est dans C'Q c'est dire que F(x, xt) = 0, ou encore, comme x / 0, que F'(x,t) = 0. Autrement dit, on a C'Q C V(F') et done aussi C 1 C V(F'), mais comme F' est irreductible on a 1'egalite. Le reste est clair.
190 IX. Applications rationnelles, genre geometrique Remarque 4.2. Si r = 0, i.e. si le point P n'est pas sur C on a F'(X, T) = F(X,XT] et C'Q = V(F') est ferme dans k 2 . Proposition 4.3. On suppose que la droite X = 0 n'est pas tangente a C en P (on peut toujours se ramener a ce cas par un isomorphisme amne), on peut alors ecrire distincts et r = ]C*=i r t = T - Alors on a ^~ L (P) = {Pi,...,Ps} avec Pi = (0, A
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Geometric algebrique line introduct
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Daniel Perrin IUFM de Versailles Un
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Table des matieres Avant-propos ix
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Table des matieres vii VII Cohomolo
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Avant-propos Get ouvrage a pour bas
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Notations On designe par N (resp. Z
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§L Quelques objets 3 (sphere), (hy
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§ 2. Quelques problemes 5 c) Un au
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§ 2. Quelques problemes 7 que Ton
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Chapitre I Ensembles algebriques af
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§ 1. Ensembles algebriques affines
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§2. Ideal d'lin ensemble algebriqu
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§ 3. Irreductibilite 15 Demonstrat
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4. Le Nullstellensatz (ou theorems
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§ 5. Un premier pas vers Bezout 21
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§ 6. Les morphismes : une premiere
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Exercices 27 Remarque 6.14. Ce theo
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Chapitre II Ensembles algebriques p
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§ 3. Lien afnne project if 31 Demo
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§ 3. Lien affine projectif 33 a. L
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§ 4. Ensembles algebriques project
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§ 6. Un anneau gradue associe a un
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§ 7. Appendice : anneaux gradues 3
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3. Quadriques Exercices 41 Soit k u
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0. Motivations Chapitre III Faiscea
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Remarques 1.2 § I. La notion de fa
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§2. Le faisceau structural d'un en
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§ 3. Les varietes amnes 51 Demonst
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§ 4. Les varietes algebriques 53 C
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5. Anneaux locaux § 5. Anneaux loc
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§ 9. Faisceaux de modules sur les
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§ 9. Faisceaux de modules sur les
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Examples 11.6 §11. Examples de mor
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Exercices A 75 Ep ainsi : (£7, s)
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Exercices A 77 8. Images directes e
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Exercices B 79 Si J est un ideal de
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4. Anneaux locaux du projectif Exer
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§ 1. Definition topologique, lien
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§ 1. Definition topologique, lien
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§2. Dimension et nombre d'equation
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§ 3. Morphismes et dimension 91 le
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Exercices 99 Demonstration (de 4.5)
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4. Dimension du groupe orthogonal E
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Chapitre V Espaces tangents, points
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Demonstration. Cela resulte aussito
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4.8. Tangentes a une courbe plane e
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§1. Multiplicites d'intersection 1
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Probleme IV 257 2) Montrer qu'un an
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Problems VII 265 sinon, si H est un
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et les trois droites (dites excepti
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Problems IX 269 12) Prouver le theo
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Partiel, decembre 1991 273 avec ..
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Examen, juin 1993 285 0) Montrer qu
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Exercice 2 Examen, fevrier 1994 287
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Examen, fevrier 1994 289 Le but du
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Examen, fevrier 1994 291 On pose W
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References bibliographiques [Bbki]
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Index terminologique ACM : voir cou
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Ideal d'un ensemble algebrique affi
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Tangente 115 Transformation quadrat
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dimx V 90 VHl/) Mn(k),Mp,q 91 100 O
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Physique Collection « Savoirs Actu
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