Introduction - index

282 Recueil de problemes
5) On suppose que Z n'a pas de trisecante (i.e. que trois points distincts
de Z ne sont jamais alignes). Montrer que Ton a, pour n > 0,
h l jz(n] < sup (0, d - In - 1).
2. Existence de bonnes sections planes
Soit C une courbe irreductible et lisse de P 3 , de degre d. On suppose
que C n'est pas une courbe plane. Le but de cette partie est de montrer
le resultat suivant :
II existe un plan H tel que Z = Cr\H soit un ensemble fini, de cardinal
d, sans trisecante (cf. I, 5).
On note E 1'espace vectoriel A; 4 . On a done P(E] = P 3 . On considere
1'espace projectif P(E*} associe a 1'espace dual. Les points de P(E*)
correspondent aux formes lineaires non nulles sur E, a un scalaire pres,
done encore aux plans de P 3 .
1) On suppose que Z = Cr\H est forme de d points distincts. Montrer
que Z n'est pas contenu dans une droite.
On admettra qu'il existe un ouvert non vide Q de P(E*} tel que tout
plan H E £7 verifie les deux proprietes suivantes :
a) Z = C fi H est forme de d points distincts (cf. Exercice VIII, 1),
b) il existe deux points distincts P, Q de Z = C Pi H tels que la droite
< PQ > ne soit pas une trisecante de Z.
2) On pose F = {(P, Q, R) 6 C x C x C \ P,Q,R alignes}. Montrer
que F est un ferme de C x C x C.
3) Soit V la sous-variete ouverte de C xC formee des points P, Q avec
P / Q. Soit V la partie de V correspondant aux trisecantes de C :
Montrer que si V n'est pas contenu dans un ferme strict de V il contient
un ouvert non vide de V. (On pourra ecrire V comme projection d'un
ouvert de F.)
4) Montrer que V est contenu dans un ferme strict de V. (Si V
contient un ouvert non vide de V, on obtiendra une contradiction en
considerant la sous-variete fermee de V x Q
et ses projections p et TT respectivement sur V et 17.)