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42 II. Ensembles algebriques projectifs
est ensemblistement intersection complete, c'est-a-dire qu'elle peut etre
definie par deux equations, ou encore qu'elle est intersection de deux
surfaces. Mais attention, ces surfaces sont tangentes et C est, en fait,
double dans cette intersection.
e) f Montrer qu'on a une "resolution" de I(C] i.e. une suite exacte :
0 -» #(-3) 2 -^fl(-2) 3 -^I(C) -4 0
ou R designe 1'anneau k[X,Y,Z,T], et R(—i] le /2-module gradue egal
a R, mais avec la graduation decalee : R(—i)n = Rn-i- Les homomorphismes
u et v sont de degre 0 (i.e. envoient les elements de degre n sur les
elements de degre n). Ici, cela signifie que v est donne par trois polynomes
homogenes de degre 2 engendrant I(C) (on se demande bien lesquels!)
et u par une matrice 3x2 dont les coefficients sont des polynomes homogenes
de degre 1. L'exercice consiste a calculer w, i.e. les relations (on
dit encore les syzygies, c'est plus joli) qui lient les generateurs de I.
5. Reunion de deux droites disjointes
Soient D\ et DI deux droites disjointes de P 3 .
a) Montrer que, quitte a faire une homographie, on peut supposer que
ces droites sont donnees par D\ = V(X, Y) et D2 = V(Z, T).
b) Soit C = DI U D2. Determiner I(C).
c) ^f Montrer qu'on a une resolution de I(C) de la forme suivante (cf.
4):