Introduction - index

§ 8. Les varietes projectives 63
Demonstration. On commence par se ramener au cas V = P n . Supposons
V C P n . Soit / € I\(V), image d'un polynome homogene F G
k[X0,...,Xn]. On a alors D + (f) = V n £> + (F). De plus, I'homomorphisme
de restriction :
est clairement surjectif. Mais alors (cf. 2.2) Oy est 1'image du faisceau
(9pn dans le faisceau des fonctions sur V, et si P n est une variete, il en est
de meme de V qui est la sous-variete fermee portee par V (cf. Exemple
6.10).
Dans le cas de P n , il suffit de montrer que les ouverts D + (Xi) sont des
varietes affines et, par homographie, on peut meme se limiter a D + (X0)
(en effet, il est clair que les homographies sont des automorphismes de
P n muni de sa structure d'espace annele). C'est essentiellement la traduction
formelle du lien affine-projectif vu en II, et cela va faire 1'objet
du paragraphic suivant.
b. Le lien affine-projectif
On pose UQ = D + (X0), ensemble des points de P n dont la coordonnee
XQ est ^ 0. On a la bijection j : k n —> t/o, definie par
de reciproque donnee par
On munit k n de sa topologie de Zariski et UQ de la topologie induite
par la topologie de Zariski sur P n . La proposition suivante acheve la
demonstration de 8.4 :
Proposition 8.5
1) j est un homeomorphisme.
2) j est un isomorphisme d'espaces anneles de la variete affine (fc n , C7^n)
sur(U0,Op*\Uo).
Pour demontrer cette proposition nous avons besoin d'etudier soigneusement
les operations d'homogeneisation et de deshomogeneisation. Notons
deja que si P est un polynome homogene de degre d en 7\,..., Tm
on a, dans le corps des fractions, la formule :