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108 V. Espaces tangents, points singuliers
Corollaire 1.10. Solent V une variete algebrique affine, x e V, Oy,x
I'anneau local de V en x et mv,x son ideal maximal. On a un isomorphisme
: TX(V] ~ (mv^/my )*' En particulier, 1'espace tangent ne depend
que de I'anneau local de V en x.
Demonstration. Posons A = F(V) et m = rax, de sorte que Ton a
Oy,x — Am et mv,x — ^^m- L'homomorphisme naturel m —» mAm
donne par x i—> x/1 se factorise en 6 : m/m 2
» m^4m/(mAm) 2 et il s'agit
de voir que 6 est un isomorphisme de fc-espaces vectoriels.
a) 9 est injectif : soit x 6 m tel que x 6 (mylTO) 2 . Cela signifie qu'il
existe s £ m tel que sx 6 m 2 . Mais, si s ^ m, comme A/m est un corps,
il existe t £ A avec 5i = 1 — a, a e m. On en deduit x = six + ax e m 2 .
b) # est surjectif : soit x/s e mylTO, avec x e m, s ^ m. Avec les
notations de a) on a x/s = 0(tx], car x/s — ta = txa/(l — a) e (mAm) 2 .
Remarque 1.11. On peut maintenant definir 1'espace tangent en un
point d'une variete algebrique quelconque X comme 1'espace tangent en
ce point a un ouvert affine. Vu 1.10 cet espace ne depend pas de 1'ouvert
en question. On peut aussi utiliser directement la formule de 1.10
ou encore la definition avec les deformations de X au sens de 1.1.
2. Points singuliers
Definition 2.1. Soit V une variete algebrique irreductible et soit x e V.
On dit que x est un point regulier (ou lisse) de V (ou encore que V est
non singuliere en x) si on a dim V = dimkTx(V). On dit que V est non
singuliere (ou lisse ou reguliere) si elle 1'est en tout point.
Remarques 2.2
1) Si V n'est pas irreductible il faut demander dimx V = dimTx(V)
ou dimx V est le sup des dimensions des composantes irreductibles passant
par x. (En fait, on peut montrer, cf. 3.6, que si x est sur plusieurs
composantes il est singulier.)
2) Dans tous les cas on a dimTx(V] > dimx(T^) (cf. Probleme V).
Theoreme 2.3 (critere jacobien). Soit V C k n une variete algebrique
affine irreductible, de dimension d. On suppose que I(V) = (Fi,..., Fr}.
Alors on a :
V non singuliere en x rang dx(Fi,..., Fr) = n - d (cf. 1.8).