Introduction - index

§ 5. Un premier pas vers Bezout 21
Exemples 4.11
a) Soit V — V(XY) C k 2 . On verifie que les ideaux premiers minimaux
de F(V) sont les images des ideaux (X) et (Y) qui correspondent
aux deux composantes de V.
b) Plus generalement, dans le cas d'une hypersurface on a la proposition
suivante que le lecteur montrera a titre d'exercice (cf. aussi Exercice
1,3):
Proposition 4.12. Soit F € k[Xl:...,Xn], F = F? 1
F? r avec les F,
irreductibles et non associes et cxi > 0. On a alors :
1) I(V(F}) = (Fi Fr). En particulier si F est irreductible on a
I(V(F)) = (F).
2) La decomposition de V(F] en irreductibles est donnee par V(F) =
V(Fi) U U V(Fr). En particulier si F est irreductible V(F) Pest aussi.
Dans le cas d'un ensemble algebrique quelconque on a aussi, comme
en 1.5, des ouverts standard qui forment une base de la topologie :
Proposition-definition 4.13. Soit V un ensemble algebrique affine et
soit f G r(V) un element non nul. L'ensemble
(qu'on note simplement D(f) s'il n'y a pas d'ambigui'te) est un ouvert
de Vj dit ouvert standard. Tout ouvert de V est reunion finie d'ouverts
standard.
5. Un premier pas vers Bezout
Nous montrons ici que 1'intersection de deux courbes planes sans composante
commune est finie. Dans ce paragraphe k est un corps commutatif
quelconque.
Theoreme 5.1. Soient F, G E k[X, Y] des polynomes non nuls et sans
facteur commun. Alors V(F] fl V(G) est fini.
Nous montrerons, au passage, le resultat suivant, a rapprocher de 4.8 :
Theoreme 5.2. Sous les hypotheses de 5.1 1'anneau k[X,Y]/(F,G) est
unjk-espace vectoriel de dimension finie.