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§ 1. Definition topologique, lien avec 1'algebre 83 tibles de X. C'est un entier > 0 ou +00. On le note dim A". 1 b. Quelques remarques topologiques Proposition-definition 1.3. Si Y est un sous-espace topologique de X on a dimy < dimX. Si X est de dimension finie, la codimension de Y dans X est par definition le nombre dim X — dim Y. Si de plus X est irreductible et de dimension finie et si Y est un ferine distinct de X on a dimY < dimX. Demonstration. Soit FI C C Fn une chaine de fermes irreductibles de Y. On en deduit la suite FI C C Fn de fermes irreductibles (cf. I, 3.7) de X. Ces fermes sont distincts car on a, pour tout z, F; = Fi n Y puisque F, est ferme dans Y. Le resultat en decoule. La deuxieme assertion est claire (rajouter X a une chaine maximale de Y}. Proposition 1.4. Soit X un espace topologique. On suppose qu'on a n X = (J Xi avec Xi ferme. Alors on a dimX = sup dimXi. 1=1 Demonstration. Vu 1.3 il est clair que Ton a dimX > sup dimXi. Reciproquement, soit p le sup en question (s'il est infini, le resultat est trivial). Supposons qu'on ait une chame de X de longueur p + 1 : n FQ C C Fp+i. On a Fp+i = U(X< n Fp+1), mais, comme Fp+i est »=i irreductible, il est inclus dans 1'un des Xi, ce qui contredit dimXi < p. La proposition precedente s'applique en particulier lorsque les Xi sont les composantes irreductibles d'une variete algebrique X (cf. Ill, 4.4 ). On est done essentiellement ramene au cas des varietes algebriques irreductibles. c. Lien avec la dimension de Krull Rappelons la definition de la dimension de Krull d'un anneau A. Definition 1.5. La dimension de Krull de A est la borne superieure des longueurs des chaines d'ideaux premiers de A. On la note diiriK A. 1 Bien entendu cette notion n'a d'interet que pour les topologies du type de Zariski. Ainsi, si X est separe on a toujours dim X — 0.
84 IV. Dimension Exemple 1.6. Un anneau principal qui n'est pas un corps est de dimension 1 (car tout ideal premier non mil est maximal); k[Xi,... ,Xn] est un anneau de dimension > n comme en temoigne la chaine (0) C (Xi) C (XiiXz) C C (Xi,... ,Xn}. En fait cet anneau est de dimension n (cf. 1.9 ci-dessous). Proposition 1.7. Soit V une variete algebrique affine et soit F(V) = F(V, Ov] I'algebre des fonctions regulieres sur V. On a Demonstration. Cela resulte de la bijection decroissante (corollaire I, 4.9 du Nullstellensatz) entre parties fermees irreductibles de V et ideaux premiers de r(V). d. Le theoreme algebrique fondamental Le resultat suivant, dont on trouvera une demonstration dans le probleme III, est la pierre angulaire de ce chapitre : Theoreme 1.8. Soit A une k-algebre de type fini integre et K — Fr (A] son corps des fractions. La dimension de Krull de A est egale au degre de transcendance de K sur k : dim/
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Geometric algebrique line introduct
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Daniel Perrin IUFM de Versailles Un
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Table des matieres Avant-propos ix
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Notations On designe par N (resp. Z
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Chapitre I Ensembles algebriques af
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4. Le Nullstellensatz (ou theorems
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§ 5. Un premier pas vers Bezout 21
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§ 6. Les morphismes : une premiere
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Exercices 27 Remarque 6.14. Ce theo
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Chapitre II Ensembles algebriques p
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1. Schemas affines a. Definition §
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Index terminologique ACM : voir cou
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Ideal d'un ensemble algebrique affi
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Tangente 115 Transformation quadrat
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Physique Collection « Savoirs Actu
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