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200 IX. Applications rationnelles, genre geometrique
Remarque 5.14. En revanche, si C est une courbe singuliere elle n'est
pas, en general, localement plane. En effet, en un point d'une courbe
plane 1'espace tangent est de dimension < 2. Considerons alors, dans fc 3 ,
la courbe C d'equations X 2 - y 3 = Y 2 - Z 3 = 0. On voit facilement que
C est irreductible et que Ton a I(C) = (X 2 - Y 3 ,Y 2 - Z 3 ) (le mieux
pour cela est d'utiliser le parametrage x = t 9 ,y = t 6 ,z = t 4 ). Mais, au
point (0,0,0), 1'espace tangent a C est de dimension 3 car la matrice
jacobienne est nulle et done C n'est pas localement plane.
5.15. Algorithme de calcul du genre geometrique d'une courbe plane
Soit C une courbe plane projective irreductible de degre d. (On sait
que toute courbe est birationnellement equivalente a une telle courbe, cf.
1.9.) La methode pour calculer le genre geometrique de C est la suivante :
0) On calcule
1) On determine les points singuliers de C.
2) Pour chaque point singulier P de C on effectue 1'eclatement local de
centre P, on obtient des points PI, ..., Pr (infiniments voisins de P). Si
ces points sont lisses (ce qui est le cas si P est ordinaire) on s'arrete. Sinon
on effectue les eclatements locaux centres en les Pi qui sont singuliers.
On continue ainsi jusqu'a ce que tous les points mfmiment voisins de P
obtenus soient lisses. Le theoreme 5.11 garantit que le processus s'arrete
en un nombre fini de pas. On notera que cette phase du calcul est locale
(on s'interesse seulement au point P et a ses fibres successives).
3) On calcule la multiplicite de chaque point singulier infiniment voisin
de C et on applique 5.12.
Exemples 5.16
1) En vertu de 5.12 une cubique qui a un point singulier est de genre
0, done unicursale. De meme une quartique qui a un point triple ou
trois points simples est de genre 0. C'est le cas par exemple pour le
trifolium defini par (point triple
a 1'origine) ou pour la quartique tricuspidale definie par F(X, Y, T) =
(trois points de rebroussement
en (0,0,1), (0,1, 0) et (1,0,0)) ou encore pour le trifolium regulier donne
par