Introduction - index

10 I. Ensembles algebriques affines
Exemples 1.2
1) On a V({1}) = 0, V({0}) - k n , le vide et Pespace tout entier sont
done des ensembles algebriques affines.
2) Si n = I et si S n'est pas reduit a 0, V(S] est un ensemble fini : les
ensembles algebriques affines de la droite sont la droite et les ensembles
finis.
3) Si n — 2, on a, outre le vide et le plan, les "courbes" F(F), et les
points : V(X, Y) = {(0,0)}, V(X(X - 1), Y) = {(0,0), (1,0)} ...
Remarques 1.3
0) L'application V est decroissante : si S C S', on a V(S') CV(S).
1) Si 5 C k[Xi,..., Xn], notons (S) 1'ideal engendre par S : (S) est
r
forme des polynomes / = J^Oj/i avec fc € S et 04 € k[X\,... ,Xn],
»=i
Alors, on a V(5) = V((S». (Par decroissance on a V((S'» C F(5). Reciproquement,
si x £ V(5), il annule les fa € 5, done aussi les / € (S).)
On peut done pour etudier les ensembles algebriques affines se limiter
aux S qui sont des ideaux, ou, au contraire, aux generateurs de ceux-ci.
2) Comme k[X^ ... ,Xn] est noetherien, tout ideal est de type fini :
I — (f\i ) /r) e ^ done tout ensemble algebrique affine est defini par un
nombre fini d'equations : V(I) = V(/i,..., /r) = V(fi) n n V(/r).
Les ensembles de la forme V(/) sont appeles des hypersurfaces (en
toute rigueur, il faudrait limiter 1'usage de ce mot au cas ou / n'est
pas constant et ou A; est algebriquement clos, cf. Ch. IV) et on a done
montre ci-dessus que tout ensemble algebrique affine est intersection finie
d'hypersurfaces.
3) On note, par exemple dans fc 2 , que deux polynomes peuvent definir
le meme ensemble algebrique affine : V(X) = V(X 2 }. (Mais, plus
tard, on aura envie de dire que V(X 2 } est 1'axe des y compte deux fois,
patience!)
4) Un point de k n est un ensemble algebrique affine :
si o = (ai,...,an), on a {a} = V(X\ -ai,...,Xn - an).
5) Une intersection quelconque d'ensembles algebriques affines en est
un :
(Si on veut n'utiliser que des ideaux il faut remplacer 1'union des Sj par
leur somme.)