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Remarques 3.14 § 3. Liaison des courbes gauches 227 1) Attention il peut effectivement etre necessaire de changer de generateurs minimaux, c'est le cas si on part de la courbe d'ideal Ic = (XY, YZ, XZ) et des trois generateurs XY, YZ, ZX : deux quelconques d'entre eux ont un facteur commun. Pour effectuer une liaison il faut remplacer 1'un d'eux par une combinaison lineaire, on peut prendre par exempleXFet Z(X+ Y). 2) Par ailleurs, le lemme 3.13 n'est pas vrai en general avec un g de degre < nr, cf. par exemple Ic = (XZ, YZ,XT 2 , FT 2 ). d. Discussion sur le cas non ACM Nous donnons dans ce paragraphe quelques indications (sans demonstrations) sur le cas non ACM. Le lecteur interesse pourra se reporter aux references. Nous commengons par donner une definition des courbes mieux adaptee a la situation : Definition 3.15. On appelle courbe gauche un sous-schema de P 3 , de dimension I, sans composante ponctuelle (immergee, cf. Annexe e cidessous, ou non). Proposition 3.16. Soient C une courbe gauche (au sens ci-dessus), X une intersection complete contenant C et soit T le sous-schema algebriquement lie a C par X, intersection complete de deux surfaces de degres s et t. Alors on a : 1) F est une courbe gauche (au sens ci-dessus), 2) C est liee a T par X, 3) L'ideal Ir est le transporteur de Ic dans Ix, 4) Les formules 3.11 concernant degre et genre sont encore valables. 5) On a, pour tout n G Z, les formules : Demonstration. Voir [PS] ou [Rao].
228 X. Liaison des courbes gauches Remarque 3.17. En ce qui concerne les resolutions on a une formule analogue a celle de 3.8 mais plus compliquee, en particulier il faut distinguer entre deux types de resolution (de type E et JV, cf. [MDP]). La relation de liaison est symetrique et engendre une relation d'equivalence (la liaison "par etapes"). Le probleme principal est de decrire les classes de liaison. II y a deja (c'est essentiellement le theoreme de Peskine-Szpiro), la classe des ACM. Dans le cas des courbes non ACM un invariant fondamental a ete introduit par R. Hartshorne et etudie par A.P. Rao; il s'agit du module que Ton appelle module de Rao de C. C'est un module gradue sur 1'anneau R, il comporte seulement un nombre fini de termes non nuls (c'est clair pour n > 0 par le theoreme de Serre VII, 4.6 et pour n
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Geometric algebrique line introduct
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Daniel Perrin IUFM de Versailles Un
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Table des matieres Avant-propos ix
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Table des matieres vii VII Cohomolo
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Avant-propos Get ouvrage a pour bas
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Notations On designe par N (resp. Z
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Chapitre I Ensembles algebriques af
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§ 1. Ensembles algebriques affines
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§ 3. Irreductibilite 15 Demonstrat
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4. Le Nullstellensatz (ou theorems
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§ 6. Les morphismes : une premiere
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Exercices 27 Remarque 6.14. Ce theo
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Chapitre II Ensembles algebriques p
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§ 3. Lien afnne project if 31 Demo
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§ 3. Lien affine projectif 33 a. L
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§ 4. Ensembles algebriques project
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§ 6. Un anneau gradue associe a un
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§ 7. Appendice : anneaux gradues 3
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3. Quadriques Exercices 41 Soit k u
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0. Motivations Chapitre III Faiscea
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Remarques 1.2 § I. La notion de fa
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§2. Le faisceau structural d'un en
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§ 4. Les varietes algebriques 53 C
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5. Anneaux locaux § 5. Anneaux loc
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§ 6. Faisceaux de modules 57 On pe
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§ 7. Faisceaux de modules sur une
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§ 9. Faisceaux de modules sur les
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§ 11. Exemples de morphismes 71 De
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Examples 11.6 §11. Examples de mor
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Exercices A 75 Ep ainsi : (£7, s)
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Exercices A 77 8. Images directes e
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Exercices B 79 Si J est un ideal de
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4. Anneaux locaux du projectif Exer
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§ 1. Definition topologique, lien
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§ 1. Definition topologique, lien
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§2. Dimension et nombre d'equation
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§2. Dimension et nombre d'equation
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§ 3. Morphismes et dimension 91 le
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§ 3. Morphismes et dimension 95 C
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§ 3. Morphismes et dimension 97 Co
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Exercices 99 Demonstration (de 4.5)
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4. Dimension du groupe orthogonal E
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Chapitre V Espaces tangents, points
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Demonstration. Cela resulte aussito
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§ 3. Anneaux locaux reguliers 111
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4.8. Tangentes a une courbe plane e
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4. Cubiques cuspidales Exerdces 117
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0. Introduction Chapitre VI Le theo
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§1. Multiplicites d'intersection 1
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1. Systemes lineaires de courbes Ex
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On pose, pour 0 < p < n : § 2. La
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§ 1. Degre et genre d'une courbe p
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Exercices 173 avec les a;(/) dans k
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Index terminologique ACM : voir cou
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Ideal d'un ensemble algebrique affi
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Tangente 115 Transformation quadrat
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Physique Collection « Savoirs Actu
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