Introduction - index

202 IX. Applications rationnelles, genre geometrique
seul point PI = (0,0) qui est encore un rebroussement. On effectue done
encore un eclatement x — zt qui donne la courbe t^z 1 — t 2 z + (z — I) 2 .
Au-dessus de PI il y a un unique point P2, de coordonnees z = 1, t = 0.
On etudie la nature de ce point en posant u = z — 1, on trouve 1'equation
t*u 2 + 2t*u +1 4 — t 2 u +1 2 — w 2 , ce qui montre que PI est un point double
ordinaire. Par consequent I'eclatement de P2 donne deux points lisses
et acheve la desingularisation de C. On a done la suite d'eclatements :
C*3 —* C-2 —> Ci —> C avec £3 lisse et trois points doubles infiniment
voisins : P € C, PI e Ci, P2 € 62, done le genre arithmetique de (73 est
diminue de 3 par rapport a celui de C : il est bien nul comme annonce.
Pour trouver explicitement un parametrage de C on cherche les coniques
hyperosculatrices a C au point P, i.e. les G de degre 2 telles que
/ip(F, G) > 7. On trouve aisement que ce sont les coniques d'equations
affines G\(x, y) = x 2 + xy — y + Xy 2 avec A G A;. Ces coniques forment
un pinceau, c'est-a-dire une famille lineaire de dimension 1 dans 1'espace
projectif des coniques. Si on coupe F par G\ on trouve le point P avec la
multiplicite 7, plus un autre point de C dont les coordonnees dependent
rationnellement de A. Precisement on trouve x(l — 2A) = y(X 2 — A + 1),
ce qui conduit au parametrage :
6. Appendice : retour sur les demonstrations
precedentes
Dans le paragraphe precedent nous avons utilise librement le fait
(admis, cf. 3.6) qu'une courbe, meme singuliere, qui est finie sur une
courbe projective est encore projective (plus generalement, toute courbe
complete est projective). Nous indiquons ici comment eviter le recours a
ce resultat.
Notons d'abord que si C est une courbe irreductible complete on a
H°(C, Oc) = k (cf. Probleme II, 3.b). On peut alors reformuler 5.9 :
Theoreme 6.1. SoitC une courbe localement plane irreductible separee
et complete telle que h l Oc = pa(C) soit fini et soit n : X —> C un
eclatement global. Alors, X est une courbe localement plane irreductible
separee et complete, h l Ox = pa(X] est fini et on a la formule :
la somme etant etendue a tous les centres d'eclatements.