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36 II. Ensembles algebriques projectifs
5. Ideal d'un ensemble algebrique projectif
Definition 5.1. Soit V une partie de P n . On definit 1'ideal de V par la
formule :
Remarques 5.2
a) En vertu de 4.1, IP(V) est un ideal homogene (cf. 7.2) et radical.
b) L'operation Ip est decroissante.
c) Si V est un ensemble algebrique projectif on a VP(IP(V}} = V. Si /
est un ideal, on a / C IP(VP(I}}.
5.3. Irreductibilite
Les definitions et resultats du chapitre I se transcrivent, mutatis mutandis,
sans difficulte.
Supposons maintenant le corps k algebriquement clos. On a alors une
variante du Nullstellensatz affine. La difference notable est le role joue
par 1'ideal inconvenant R + = (Xo,..., Xn}.
Theoreme 5.4 (Nullstellensatz projectif). On suppose k algebriquement
clos. Soit I un ideal homogene de k[X0,... ,Xn] et soit V = VP(I).
2) Si VP(I) + 0, on a IP(VP(I)) = rac (I).
Demonstration. Si / = R on a V = VP(I) = 0 et 1'assertion 1) est
trivialement vraie. Supposons done / ^ R. On applique le Nullstellensatz
affine au cone de V : C(V] = V(I) C k n+1 (cf. 4.5.c). Dire que V = VP(I)
est vide c'est dire que C(V) est reduit a 1'origine de k n+l done que rac (/)
est egal a J? + , ce qui prouve 1). Pour 2), comme V — VP(I) est non
vide, on a IP(V) = I(C(V}}, done cet ideal est egal a rac(7) par le
Nullstellensatz affine.