Introduction - index

184 IX. Applications rationnelles, genre geometrique
a. Quelques preliminaires
a.l. Rappels sur les morphismes finis
Definition 3.1. Soit (p : X —> Y un morphisme dominant de varietes
algebriques irreductibles. On dit que (p est affine s'il verifie 1'une des
proprietes equivalentes suivantes :
1) Pour tout ouvert affine U de Y, (p~ l (U] est un ouvert affine de X.
2) II existe un recouvrement de Y par des ouverts affines Ui (i —
1,..., n) tel que, pour tout i, ~ l (Ui) soit un ouvert affine de X.
Pour 1'equivalence des deux proprietes ci-dessus, qui n'est pas triviale,
voir [M] II, 7.5 et III, 1.5.
Definition 3.2. Soit (p : X —» Y un morphisme dominant de varietes
algebriques irreductibles. On dit que (p est fini s'il est affine et si pour tout
ouvert affine U de Y le morphisme d'anneaux : (p* : F(U} —» T((p~ l (U)}
est entier (done fini). II suffit de verifier cette propriete sur un recouvrement
ouvert affine de Y.
Pour montrer que la verification sur un recouvrement est suffisante on
se ramene au cas affine et on montre que T(X) est un r(F)-module de
type fini; cela resulte du lemme suivant :
Lemme 3.3. Soient A un anneau, M un A-module, /1;..., /„ 6 A des
elements qui engendrent 1'ideal unite. On suppose que pour tout i le
module localise M^ est de type fini sur Afi. Alors M est de type fini sur
A.
Demonstration. Exercice : on introduira le sous-module M' de M engendre
par les generateurs des localises et le transporteur :
Proposition 3.4. Soit (p : X —> Y un morphisme fini.
1) On adimX = dimY.
2) Le morphisme (p est surjectif et ses fibres sont finies.
3) Le morphisme (p est ferine (i.e. transforme un ferme en un ferme).
4) Si Y est une variete complete (cf. Probleme II) il en est de meme
deX.
5) Si Y est une variete separee (cf. Probleme I) il en est de meme de
X.