Fissuration des mortiers - CSTB

Prise en compte du couplage hydratation-séchage pour la modélisation du retrait de
dessiccation
FIG. 6.4: Allures des courbes de distribution normale (à gauche) et log-normale (à droite)
Si l’on se replace dans le contexte de la porosité des mortiers, la variable x devient le rayon
d’entrée des pores rp et on peut aisément décrire la distribution poreuse totale comme la somme
de sous-distributions log-normales (cf. équation 6.10). La moyenne devient ainsi le paramètre
permettant de décrire la localisation du mode poreux et l’écart-type peut être apparenté à un
paramètre de répartition (mode poreux plus ou moins étalé sur l’axe des abscisses).
Avec :
p(rp) =
n
fi
∑
1 σirp
√ exp[−
2π (log(rp) − µi) 2
] (6.10)
2σ 2 i
• fi le « poids » de chaque sous-distribution
• σi et µi l’écart-type et la moyenne de chaque sous-distribution
La courbe cumulée de porosité s’obtient en sommant les intégrales des fonctions densités
comme décrit dans l’équation 6.11.
P(rp) =
n rpmax fi
∑
1 rpmin σirp
√ exp[−
2π (log(rp) − µi) 2
].drp
2σ 2 i
(6.11)
Ici rpmin et rpmax définissent les bornes inférieures et supérieures du spectre de porosité auquel
on s’intéresse. Dans notre cas, c’est l’essai de porosimétrie par intrusion de mercure qui
fixera les limites hautes et basses de la distribution poreuse du mortier. Ce modèle est néanmoins
aisément adaptable à toute distribution fournie par une autre technique expérimentale.
La distribution log-normale possède des propriétés intéressantes permettant de déterminer
combien de sous-distributions peuvent être associées à la distribution totale. En effet, si l’on
trace log(x) en fonction de log(x)−µ
σ , on obtient un graphique Q-Q (quantile-quantile) où log(x)−µ
σ
correspond au quantile d’une distribution normale n(0,1). Chaque segment de droite sur le graphique
ainsi tracé correspond alors à une sous-distribution. La linéarité observée dans le plan
Q-Q permet de démontrer la validité d’une classe de pore avec une distribution en log-normale.
Il est également possible de déterminer les valeurs initiales des paramètres par une méthode
graphique. La moyenne µi est l’ordonnée à l’origine des segments, l’écart-type σi est la pente
des segments. Un exemple avec 3 sous-distributions est illustré en figure 6.5.
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