Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

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98 Chapitre 6. Codes à eacements MDS basés sur les FNTtailles supérieures à quelques centaines d'éléments ( 1Mbps). Dans ce cas, l'utilisateurpréférera utiliser des codes de type LDPC ou Fountain de complexité plus faible,au prix de la perte de cette optimalité.Des travaux récents [12] ont permis de dénir des codes MDS à complexité sousquadratique,en l'occurrence de l'ordre de O(n log 2 n), basé sur des transformées deWalsh. Les codes MDS que nous présentons dans ce chapitre peuvent être encodéset décodés avec un algorithme de complexité pratique logarithmique O(n log n). Ilspeuvent également être utilisés en tant que code systématique, sans perte notablede performance au niveau du décodeur. Ces codes sont basés sur une application dela transformée de Fourier rapide (FFT) dans un corps de Galois dont la taille estun nombre de Fermat premier. Dans ce type de corps, la FFT est souvent appeléeTransformée en Nombres de Fermat (Fermat Number Transform-FNT). Ces codesseront dénommés par la suite RS-FNT.Ces codes sont les premiers codes publiés permettant d'atteindre la limite théoriquede la complexité d'un code MDS [77]. Par ailleurs, ces codes étant équivalents auxcodes de Reed-Solomon classiques, ils sont également encodables et décodables avecdes algorithmes quadratiques plus rapides pour des codes de petite taille.6.2 Construction des codes RS-FNT6.2.1 La transformée de Fourier sur F qLes dénitions suivantes permettent de dénir le contexte dans lequel est dénice code.Dénition 6.1. Soit q un nombre premier. L'ensemble f0; 1; 2; :::; q 1g muni del'addition et de la multiplication modulo q forme un corps ni [11]. Ce type de corps,qui fait partie des corps de Galois, est noté Fq ou parfois GF(q). Par la suite, onappellera un tel corps un corps ni premier.Dénition 6.2. Dans le corps ni Fq, l'ordre d'un élément est la plus petite puissancede l'élément égale à 1 modulo q. Lorsque cet ordre est égal à q 1, l'élément ducorps est appelé une racine primitive du corps. En ce sens, chaque élément du corpspeut être déni comme une puissance d'une racine primitive du corps.Il est possible d'étendre la dénition de la transformée de Fourier discrète (DFT)aux corps de Galois [78]. Dans ce corps, la dénition de la DFT devient :Dénition 6.3. Soit ! un élément d'ordre n 1 de Fq et n q.Soit a = (a 0 ; a 1 ; :::; a n 1 )un vecteur de F n q . La transformée de Fourier discrète (DFT) dans ce corps est :∑n 1A j =i=0où A = (A 0 ; A 1 ; :::; A n 1 ) est un vecteur de F n q .a i ! ij ; 0 j n 1 (6.1)
6.2. Construction des codes RS-FNT 99De la même manière, la transformée inverse (DFT 1 ) est dénie comme suit :a j = 1 n 1n ¢ ∑i=0A i ! ij ; 0 j n 1La transformée de Fourier rapide (FFT) est un algorithme développé par Cooley etTukey [79] en 1965 permettant le calcul de la DFT dans le cas général en complexitélogarithmique O(n log n). Comme mis en évidence par Pollard [78], l'algorithme de laFFT peut être adapté de manière similaire dans les corps de Galois, la racine n imede l'unité des complexes étant ici remplacée par un élément d'ordre n du corps. Ceciest possible car les mécanismes fondamentaux de la FFT sont indépendants du corpsutilisé.Le principe général de la FFT est une approche de type diviser pour régner. Cetteapproche permet d'atteindre la complexité théorique annoncée en divisant basiquementla résolution de la FFT de taille n en la résolution de deux FFT de taille n 2 .La transformée de Fourier rapide (FFT) Dans ce paragraphe, nous détaillons leprincipe de la FFT que nous illustrerons par un exemple dans le corps Fq.Soit K un corps ni de taille q, n la taille de la transformée de Fourier, n < q,soit a = (a 0 ; a 1 ; :::; a n 1 ) et A = (A 0 ; A 1 ; :::; A n 1 ) deux vecteurs de K n . Soit ! unélément d'ordre n du corps. Si A est la DFT de a, la DFT peut s'écrire de façonmatricielle (la matrice est symétrique) :⎛⎞1 1 1 1 : : : 11 ! ! 2 ! 3 : : : ! n 11 ! 2 ! 4 ! 6 2(n 1): : : ! 1 !A =3 ! 6 ! 9 3(n 1): : : ! ¢a (6.2). . . ..⎜⎟⎝⎠1 ! n 1 ! 2(n 1) ! 3(n 1) : : : ! (n 1)(n 1)} {{ }DF T !(n)On suppose dès lors que n est une puissance de deux. Si l'existence d'une racineprimitive a été prouvée sur les corps de Galois, la FFT utilise une propriété intéressantedes éléments d'ordre :Proposition 6.4. Soit ! un élément d'ordre n pair, dans un corps de Galois Fq, n < q.Alors ! 2 est une élément d'ordre n du corps.2Démonstration. Par dénition, ! 1mod q, et n étant pair nous avons donc! 2¢ n 2 1 mod q et donc (! 2 ) n 2 1 mod q. L'ordre de ! 2 est donc inférieur ou égalà n 2 . Supposons qu'il existe m tel que !2m 1mod q et m < n . Le résultat suivant2
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ivTable des matières4.3 Analyse th
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viTable des gures4.2 Matrice de par
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Chapitre 1IntroductionLes thèses l
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