Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

6.2. Construction des codes RS-FNT 101où DF T !2 = ( 1 11 16).Les résultats précédents peuvent s'appliquer mutatis mutandis dans le cadre de latransformée de Fourier inverse.Proposition 6.6. Pour tout k n, les k premières lignes de la matrice de la transforméede Fourier discrète (DFT) forment une matrice génératrice d'un code de Reed-Solomon. La DFT, qui peut être obtenue via la FFT, est donc un code MDS.Démonstration. L'équation 6.2 a mis en lumière l'écriture matricielle de la transforméede Fourier. Ainsi, il est possible de remarquer que la matrice de la DFT est une matriceparticulière de Vandermonde avec le vecteur (1; !; ! 2 ; :::! n 1 ). ! étant d'ordre n, lamatrice est de rang plein ce qui termine la démonstration.Une autre façon de considérer la transformée de Fourier discrète vient de la représentationpolynômiale.Proposition 6.7. Soit K un corps ni de taille q. Soient ! un élément d'ordre n,n < q, a = (a 0 ; a 1 ; :::; a n 1 ) et A = (A 0 ; A 1 ; :::; A n 1 ) deux vecteurs de K n . Latransformée de Fourier discrète A de a est équivalente à l'évaluation du polynômea(x) = ∑ n 1i=0 a ix i aux points (1; !; ! 2 ; :::; ! n 1 ) en progression géométrique.Démonstration. En reprenant l'écriture originale de la DFT, nous avons pour j 2(0; 1; :::; n 1) :∑n 1a(! j ) = a i ! j i ∑n 1= a i ! ij = A j :i=0i=06.2.2 La FNT sur F 65537Si l'ensemble des propriétés sur la FFT sont valables sur Fq dès lors que q estpremier, en pratique, il est intéressant de travailler sur des corps permettant uneadaptation pratique aisée. Les terminaux fonctionnant généralement avec des unitésde 8, 16, 32 voire 64 bits, c'est-à-dire de 2 r bits, l'idéal est donc d'utiliser des corpsdont les éléments peuvent être représentés par des vecteurs de bits ayant ces longueurs.D'autre part, pour réaliser une implémentation ecace de la FFT, celle-ci doit êtrede taille 2 m , ce qui implique l'existence d'un élément d'ordre 2 m dans le corps ni.Malheureusement, tous les éléments des corps de taille 2 2r sont d'ordre impair.Une solution par rapport à ce problème consiste à utiliser des corps ni dont lecardinal est un nombre de Fermat de type F p = 2 2p + 1. Ces corps contiennent deséléments ayant comme ordre toutes les puissances de 2 comprises entre 0 et 2 2p .Il a été prouvé que les nombres de Fermat F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257et F 4 = 65537 sont premiers, F 4 étant à ce jour le plus grand nombre de Fermat