Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

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102 Chapitre 6. Codes à eacements MDS basés sur les FNTpremier connu. Dans la pratique, nous avons donc développé notre code sur le corpsde Galois F 65537 qui permet de coder des valeurs sur des mots de 16 bits hormis lavaleur "65536".Il est possible de résoudre ce problème, car en pratique, le code est limité à unetaille n = 32768. Ce qui signie que pour chaque paquet de symboles, il existe uneplus petite valeur du corps qui n'est pas présente. Dans ce cas, la valeur 65536 seracodée par cette valeur absente, et sera signalé tel quel par l'encodeur via un champd'en-tête de 16 bits.L'application de la DFT/FFT sur ce type de corps se dénit ainsi :Dénition 6.8. La Transformée en Nombres de Fermat (FNT) est l'application de latransformée de Fourier rapide (FFT) sur un corps Fq où q est un nombre de Fermatpremier.Dans le corps F 65537 , nous avons utilisé 3 comme racine primitive. Pour des codesde taille n = 2 i , l'élément d'ordre utilisé pour la FNT sera 3 216 i .6.2.3 L'algorithme de décodage de la FNTDans la suite de cette partie, nous prenons l'hypothèse que la taille n du code estune puissance de deux. Lors d'une implémentation pratique, si n n'est pas une puissancede deux, alors la FNT travaillera sur la plus petite puissance de deux supérieureà n et le code sera poinçonné. De la même manière, nous prenons aussi k commeune puissance de deux, en remplissant éventuellement le vecteur source de la FNT dezéros jusqu'à atteindre une puissance de deux. Au niveau du décodage, le décodeurconsidérera ainsi ce padding comme faisant partie de l'ensemble des éléments reçus.Soit un vecteur de symboles sources s = (s 0 ; s 1 ; :::; s k 1 ) de dimension k et àvaleurs dans Fq, et soit ∑ k 1s(x) = s i=0 ix i le polynôme associé. Nous complétonsce vecteur avec des 0 an de former un vecteur de taille n. Le polynôme associén'est ainsi pas modié. Il est alors possible de calculer la FNT de ce vecteur, quidonnera un vecteur de symboles codés c = (c 0 ; c 1 ; :::; c n 1 ). La proposition 6.6 nousindique ainsi que ce mécanisme forme un code MDS, à savoir qu'il est possible deretrouver l'ensemble des symboles sources à partir de n'importe quel sous-ensemblede c comportant k symboles. Le point principal est donc de dénir un décodage ecaceassocié à cette opération.Dans le cas particulier où l'ensemble du vecteur c a été reçu, le décodage est immédiat.Il correspond simplement à l'application de la transformée de Fourier inverse(FNT 1 ) sur le vecteur c. Dans le cas général cependant, au moins un des symbolescodés a pu être perdu, rendant impossible l'application du mécanisme précédent. Il estdonc nécessaire de dénir un algorithme de décodage de la FNT lorsque au moins ksymboles codés ont été reçus, mais pas tous.La proposition 6.7 a permis de mettre en lumière la relation entre la FNT/DFTet l'évaluation polynômiale. Soit ! l'élément d'ordre n utilisé pour la FNT, alors lessymboles codés c i correspondent à l'évaluation du polynôme s(x) sur les ! i :
6.2. Construction des codes RS-FNT 1038i 2 f0; 1; :::; n 1g; c i = s(! i )Le décodage peut donc être vu comme un problème général d'interpolation polynômiale.Il s'agit ici, de déterminer le polynôme de degré k 1, s(x) à partir de kpoints d'évaluations reçus faisant partie d'une suite en progression géométrique. Cettevue nous permet d'ailleurs de démontrer d'une autre manière le caractère MDS de laFNT.L'interpolation polynômiale est un vaste domaine étudié depuis de très nombreusesannées et qui possède un large éventail de solutions. Certaines solutions de complexitéO(n log n) ont été proposées. Toutefois, elles sont relativement diciles à implémenteren l'état et la plupart des solutions et implémentations classiques possèdent unecomplexité quadratique. L'algorithme de décodage que nous présentons permet quantà lui d'eectuer cette interpolation et de décoder la FNT avec une complexité pratiquede O(n log n).Prérequis mathématiquesTout d'abord, nous présentons quelques résultats utiles à l'algorithme de décodage.Dans le cas général, la multiplication de deux polynômes de degré strictementinférieur à n est de complexité O(n 2 ) en utilisant une méthode naïve où chaqueproduit de monômes est calculé. Dans les années 1960, Karatsuba a présenté unalgorithme [80] permettant de réduire la complexité théorique de cette multiplicationà O(n log 23 ) ' O(n 1:59 ). Soient les polynômes a(x) = a 1 x + a 0 et b(x) = b 1 x + b 0 ,l'algorithme de Karatsuba utilise la décomposition de a(x)b(x) suivante :a(x)b(x) = a 1 b 1 x 2 + (a 1 b 1 + a 0 b 0 (a 1 a 0 )(b 1 b 0 ))x + a 0 b 0Cette décomposition ne requiert ainsi que 3 multiplications et permet d'atteindrela complexité proposée. Toom et Cook [81][82] ont généralisé cette méthode pour desschémas de polynômes de degré k qui ont donné les algorithmes de Toom-k, et quilog(2k 1)sont de complexité O(nlog k). Cependant ces algorithmes trainent une constanteprohibitive dès lors que k dépasse 5. L'algorithme de multiplication polynômiale quenous allons utiliser ici est une adaptation de l'algorithme de Schönhage-Strassen [83]aux corps nis.Proposition 6.9. (Schönhage-Strassen) Soient a(x) = ∑ n 1i=0 a ix i et b(x) = ∑ n 1i=0 b ix ideux polynômes à valeurs dans (Fq) n avec q > 2n. Il est possible d'en calculer le produita(x)b(x) avec la complexité M(n) = O(n log n).Démonstration. Soit ! un élément d'ordre 2n dans le corps considéré. La DFT-2n despolynômes a(x) et b(x) peut être vue grâce à la proposition 6.7 comme l'évaluationde ces polynômes sur les diérents ! i . Soient A et B ces DFT, nous avons :8i 2 f0; 1; :::; 2n 1g; A i = a(! i ); B i = b(! i )
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viTable des gures4.2 Matrice de par
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Chapitre 1IntroductionLes thèses l
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1.2. Organisation du document 3une
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