Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

88 Chapitre 5. Codes de Reed-Muller pour le canal à eacements de paquetsà r 1. D'après la dénition d'un code de Reed-Muller, en évaluant le polynôme f surf(0; 0; :::; 0; 0); (1; 0; :::; 0; 0); :::; (1; 1; :::; 1; 0)g, ceci est équivalent à l'évaluation deu car x m 1 = 0, puis en évaluant sur f(0; 0; :::; 0; 1); (1; 0; :::; 0; 1); :::; (1; 1; :::; 1; 1)g,nous avons bien ici l'évaluation de u + v. En concaténant l'évaluation totale, nousobtenons bien le résultat souhaité.Il est alors important de noter que le code RM(0; m) correspond au code à répétitioncar k = 1 et que le code RM(m; m) peut être ramené au code à identité,c'est-à-dire au code dont la matrice génératrice est la matrice identité. Cela revientdans ce cas à évaluer le polynôme source sur sa base propre et non plus sur la baseclassique telle que celle de la dénition 5.3, ce qui ne modie en rien les propriétésdu code. A partir de ce point, pour des raisons de commodité, nous utiliserons laconstruction de Plotkin pour les codes de Reed-Muller, en gardant à l'esprit que lesrésultats sur la base classique sont équivalents.Théorème 5.5. Soit un code de Reed-Muller RM(r; m), 0 r m, et n = 2 m lataille du code associé. Chaque élément de ce code peut être construit et décomposé enéléments de code à répétition et de code identité. La complexité d'une telle opérationest O(n log n).Démonstration. La première partie s'obtient directement en appliquant la proposition5.4 de manière récursive.Soit T (n) le coût de la construction/décomposition d'un élément de RM(r; m).Grâce à la construction de Plotkin, ce coût peut être ramené au coût de la construction/décompositionde taille n 2 et un coût linéaire an, où a 2 R+ .De manière récursive nous avons donc :T (n) = an + 2T ( n 2 ) = an + an + 4T (n ) = ::: = an + an + ::: + an =4 } {{ }an log 2 nlog 2 n itérationsD'où la complexité annoncée.= O(n log 2 n):La décomposition récursive est illustrée sur la Figure 5.1.A ce stade, nous venons donc de prouver qu'il est possible d'utiliser les codes deReed-Muller en tant que code à eacements, avec un encodage et un décodage decomplexité logarithmique.Cependant, en pratique, les résultats de simulation ont montré que la capacité decorrection de ce code en utilisant ce simple décodage est mauvaise. La construction dePlotkin permet donc de poser les bases d'un codage ecace mais nécessite quelquesadaptations an de proposer un décodage pertinent.