Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

6.2. Construction des codes RS-FNT 99De la même manière, la transformée inverse (DFT 1 ) est dénie comme suit :a j = 1 n 1n ¢ ∑i=0A i ! ij ; 0 j n 1La transformée de Fourier rapide (FFT) est un algorithme développé par Cooley etTukey [79] en 1965 permettant le calcul de la DFT dans le cas général en complexitélogarithmique O(n log n). Comme mis en évidence par Pollard [78], l'algorithme de laFFT peut être adapté de manière similaire dans les corps de Galois, la racine n imede l'unité des complexes étant ici remplacée par un élément d'ordre n du corps. Ceciest possible car les mécanismes fondamentaux de la FFT sont indépendants du corpsutilisé.Le principe général de la FFT est une approche de type diviser pour régner. Cetteapproche permet d'atteindre la complexité théorique annoncée en divisant basiquementla résolution de la FFT de taille n en la résolution de deux FFT de taille n 2 .La transformée de Fourier rapide (FFT) Dans ce paragraphe, nous détaillons leprincipe de la FFT que nous illustrerons par un exemple dans le corps Fq.Soit K un corps ni de taille q, n la taille de la transformée de Fourier, n < q,soit a = (a 0 ; a 1 ; :::; a n 1 ) et A = (A 0 ; A 1 ; :::; A n 1 ) deux vecteurs de K n . Soit ! unélément d'ordre n du corps. Si A est la DFT de a, la DFT peut s'écrire de façonmatricielle (la matrice est symétrique) :⎛⎞1 1 1 1 : : : 11 ! ! 2 ! 3 : : : ! n 11 ! 2 ! 4 ! 6 2(n 1): : : ! 1 !A =3 ! 6 ! 9 3(n 1): : : ! ¢a (6.2). . . ..⎜⎟⎝⎠1 ! n 1 ! 2(n 1) ! 3(n 1) : : : ! (n 1)(n 1)} {{ }DF T !(n)On suppose dès lors que n est une puissance de deux. Si l'existence d'une racineprimitive a été prouvée sur les corps de Galois, la FFT utilise une propriété intéressantedes éléments d'ordre :Proposition 6.4. Soit ! un élément d'ordre n pair, dans un corps de Galois Fq, n < q.Alors ! 2 est une élément d'ordre n du corps.2Démonstration. Par dénition, ! 1mod q, et n étant pair nous avons donc! 2¢ n 2 1 mod q et donc (! 2 ) n 2 1 mod q. L'ordre de ! 2 est donc inférieur ou égalà n 2 . Supposons qu'il existe m tel que !2m 1mod q et m < n . Le résultat suivant2