Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

108 Chapitre 6. Codes à eacements MDS basés sur les FNTLe dénominateur de la somme fractionnelle étant égal à a(x), le numérateur seraalors s(x). Grâce à la proposition 6.13, il est possible alors de déterminer s(x) avec lacomplexité O(n log n + 2k log 2k).Dans le cas général, la complexité de l'algorithme de décodage de la FNT estdonc O(k log 2 k + n log n). Dans le cas où les k premiers éléments sont reçus, cettecomplexité devient O(k log k + n log n).Il est important de remarquer que le calcul de a(x) et l'évaluation de sa dérivéesur les i ne dépendent seulement que des positions reçues. Elle est indépendante desvaleurs reçues. Dans le cadre de l'adaptation aux symboles/paquets, composé d'unnombre sz d'éléments de Fq, les positions reçues sont identiques pour l'ensemble dessz bi-octets d'un paquet/symbole.A titre d'exemple, une trame Ethernet de 1500 octets possède donc sz = 750bi-octets. Lorsque ces trames sont reçues, les positions reçues sont donc identiquespour ces 750 éléments de Fq.Le calcul de a(x) et des évaluations de sa dérivée n'est donc eectué qu'une foispar symbole/paquet. En pratique, la complexité du décodage de la FNT est doncO( k log2 ksz + n log n + 2k log 2k). La partie divisée par sz devient ainsi négligeable, etpour un taux de codage xé, k étant une proportion de n, en pratique, la complexitédu décodage de la FNT sur des paquets/symboles devient donc O(n log n).6.2.4 Construction d'un code systématiqueDans le paragraphe précédent, nous avons vu que la FNT était encodable et décodableen tant que code MDS(n,k) avec une complexité logarithmique. Cependant laFNT n'est pas un code systématique. An de rendre l'encodage et le décodage systématique,nous introduisons un encodage/décodage FNT supplémentaire, permettantde conserver la complexité logarithmique.Soit s = (s 0 ; s 1 ; :::; s k 1 ) le vecteur d'éléments sources. Au niveau de l'encodeur, àpartir de ce vecteur de taille k, nous eectuons un décodage FNT de taille n. Ceci nouspermet donc d'obtenir un vecteur i = (i 0 ; i 1 ; :::; i k 1 ) de k éléments intermédiaires.Il sut alors d'appliquer la FNT sur les éléments intermédiaires, qui nous permetainsi d'obtenir une ensemble de n éléments codés, les k premiers correspondant alorsaux éléments systématiques, c = (s 0 ; s 1 ; :::s k 1 ; c k ; c k+1 ; :::; c n 1 ). Ce mécanisme estschématisé sur la Figure 6.1.Au niveau du décodeur, le mécanisme est similaire. Un décodage FNT eectuésur les symboles codés permet de retrouver l'ensemble des symboles intermédiaires.En appliquant alors la FNT, on retrouve les k symboles sources sur les k premièrespositions (ainsi que les autres symboles codés par ailleurs). Ce comportement estschématisé sur la Figure 6.2.L'ensemble encodeur/décodeur ainsi créé forme ce que nous appelons le code RS-FNT.