Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

4.2. Construction des codes à matrice bande 73⎛⎞t 0 0 0 : : : 0 0t 1 t 0 0t 2 t 1 t 0 . .. T =. t 2 t ..1 . t i . t .. . ..2 0⎜⎝ . t i . t 0 0 ⎟⎠t n 1 . t i t 1 t 0Figure 4.1 Matrice de Toeplitz triangulaire inférieure4.2 Construction des codes à matrice bande4.2.1 Dénitions et propositionsNous dénissons ici quelques éléments nécessaires à la construction des codes àmatrice bande.Dénition 4.1. Soit T = (t i;j ; i; j 2 f0; :::; n 1g) une matrice de Toeplitz carréetriangulaire inférieure de taille n. Cette matrice est donc à diagonale constante. Pouri < j, t i;j = 0 et pour i j, t i;j = t i j . Cette matrice peut donc être dénie par len-uplet (t 0 ; t 1 ; :::; t n 1 ).A ce n-uplet on associe le polynôme suivant t(x) 2 K[X]=(X n ), soit l'anneau del'ensemble des polynômes à degré inférieur à n modulo X n et à coecients sur le corpsK :∑n 1t(x) = t i x ii=0Cette matrice est représentée comme sur la Figure 4.1 :Proposition 4.2. Soit G 2 M n;m une matrice à n lignes à coecients dans K[X], etsoit g j (x) les polynômes associés aux colonnes de G. Ces polynômes peuvent s'écrire8j 2 (0; :::; m 1); g j (x) = ∑ n 1i=0 g i;jx i .Soit T une matrice de Toeplitz telle que dénie précédemment et t(x) son polynômeassocié dans l'anneau déni précédemment. Les colonnes de la matrice du produit T Gsont égales au produit des polynômes associés t(x)g j (x).Ce résultat peut être résumé comme suit :