Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

106 Chapitre 6. Codes à eacements MDS basés sur les FNTLe calcul du numérateur se résume donc au produit d'un polynôme de degré k parun polynôme de degré k 1, k étant par dénition une puissance de 2, grâce à laproposition 6.9, il est possible d'eectuer ce produit en O(2k log 2k) 1 .Description de l'algorithmeNous avons désormais détaillé l'ensemble des outils nécessaires à l'algorithme dedécodage de la FNT.Dénition 6.14. Soient (x 0 ; x 1 ; :::x n 1 ) et (y 0 ; y 1 ; :::; y n 1 ) deux vecteurs de F n q . Lepolynôme L(x) déni par :∑n 1L(x) = y i ¢ ∏ x x jx i x ji=0 j6=iest l'unique polynôme de degré inférieur à n tel que 8i 2 (0; 1; :::n 1); L(x i ) = y i .Ce polynôme est appelé le polynôme interpolateur de Lagrange.Il est ainsi possible de transposer cette dénition au décodage de la FNT.Proposition 6.15. Soit un vecteur d'éléments sources (s 0 ; s 1 ; :::s k 1 ) de k éléments ets(x) = ∑ k 1i=0 s ix i le polynôme associé. La FNT de taille n produit un ensemble d'élémentscodés (c 0 ; c 1 ; :::; c n 1 ) qui forment un code MDS. Ces valeurs correspondentà l'évaluation du polynôme s(x) aux positions (1; !; :::; ! n 1 ) où ! est un élémentd'ordre n du corps. Soient les vecteurs c 0 = (c 0 0 ; c 0 1 ; :::c 0 k 1 ) et = ( 0; 1 ; ::: k 1 )les k premiers éléments reçus et leurs points d'évaluation respectifs. Il est ainsi possiblede retrouver l'ensemble des éléments sources en utilisant le polynôme interpolateur deLagrange :k∑1s(x) = c 0i ¢ ∏i=0 j6=ix j i jIl est notamment important de noter que le vecteur forme une sous-suite d'élémentsd'une suite en progression géométrique de paramètre !.Théorème 6.16. Le décodage de la transformée de Fourier numérique (FNT) sur Fqen tant que code MDS de dimension k et de taille n, k < n < q, peut être eectué avecla complexité O(k log 2 k + n log n). Cette complexité est réduite à O(k log k + n log n)lorsque les k premiers éléments codés sont reçus.Par ailleurs, en pratique, lors de l'implémentation réelle sur des symboles/paquets,cette complexité devient O(n log n).1. Il est par ailleurs intéressant de noter que nous sommes seulement intéressés par les k premierséléments du produit. Pour cela, il est nécessaire de passer par une évaluation de taille 2k. La questionde ce calcul sur une évaluation de taille k reste à ce jour un problème ouvert. Des travaux ont permis deréduire eectivement la taille de l'évaluation pour des algorithmes naïfs ou de type Karatsuba[84][85],mais la question reste entière pour l'algorithme de Schönhage-Strassen