Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

4.2. Construction des codes à matrice bande 75En eet, en gardant une structure triangulaire inférieure, tout comme les codes LDPC-Triangle, un décodage itératif à complexité linéaire est possible. La matrice U est doncdéterminée par le (n-k)-uplet (1; u 1 ; u 2 ; :::; u n k 1 ). La matrice U étant triangulaireavec une diagonale égale à 1, elle est donc de rang plein et inversible. Comme décritprécédemment, nous associons cette matrice avec le polynôme u(x) :u(x) = 1 +n∑k 1k=1u k x kEn résumé, la matrice U possède la forme suivante :⎛⎞1 0 0 : : : 0 0u 1 1 0u 2 u 1 1. .. U =. u 2 u ..1 . u i . u ..2 0⎜⎝ . u i . 1 0⎟⎠u n k 1 . u i u 1 1Pour la construction de la matrice M 2 M k;n k , l'objectif est de restreindrel'ensemble des éléments non nuls de la matrice à une bande. Nous noterons la largeurde cette bande B. Dans un premier temps, nous pouvons écrire la matrice M sous laforme suivante :⎛⎞m 0;0 m 0;1 : : : m 0;B 1 0 : : : 0 0. 0 m ..1;0 : : : m1;B 1 0 : : : 0M =. . 0 .. . .. . : : : .. 0 .⎜.⎝. . 0 m k 2;0 : : : .. . .. 0 ⎟⎠.0 0 : : : 0 m .. k 1;0 : : : mk 1;B 1A chaque ligne de la matrice nous pouvons associer le polynôme m i (x) = ∑ B 1j=0 m i;jx j .Dans ce cas particulier, nous avons une relation entre la dimension et la longueur ducode, due à la contrainte de la bande :n k = k + B 1Nous verrons par la suite comment s'aranchir de cette contrainte an de construiredes codes avec des dimensions indépendantes de B.Par dénition, la matrice génératrice G envoie n'importe quel vecteur source binairedans l'espace vectoriel image formé de l'ensemble des mots du code. De la mêmemanière la matrice de parité associée H est une application linéaire dont le noyau est