Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

12 Chapitre 2. Etat de l'art et principales notionsdès la n des années 1960, la possibilité de décoder ecacement de tels codes surle canal à erreurs est apparue grâce notamment aux travaux de Berlekamp [8] [9] etMassey [10]. L'algorithme de Berlekamp-Massey permet ainsi d'eectuer le décodagedes codes RS sur le canal à erreurs avec une complexité O(n log 2 n).Cependant les mécanismes utilisés par cet algorithme ne sont pas directementadaptables au canal à eacements. C'est ainsi qu'à ce jour, la plupart des algorithmesactuels implémentant les codes de Reed-Solomon sur les eacements sont de complexitéquadratique O(n 2 ). Des travaux ont été menés sur des algorithmes à complexitésous-quadratique sur ce canal [11], dès les années 1980, mais à ce jour aucuneimplémentation majeure de ces résultats n'a été menée.Une des raisons de ce manque de résultats pratique provient sûrement du fait queles codes de Reed-Solomon sont très largement associés aux corps nis de type F 2 mqui, comme nous l'avons vu, sont très pratiques pour une implémentation machine,mais qui malheureusement ne permettent pas à ce jour de décodage sous-quadratiquesimple. Il faut toutefois noter que des travaux récents [12] ont mis en évidence lapossibilité de créer des codes MDS avec un complexité associée de O(n log 2 n), grâceà l'utilisation des transformées de Walsh.La méthode la plus courante pour créer un code de Reed-Solomon sur le canalà eacements est de considérer directement la vue polynomiale du code, grâce àl'utilisation d'une matrice de Vandermonde comme matrice génératrice. Une approchedétaillée de ces codes a été présentée par Plank [13] [14]. Luigi Rizzo a proposé uneimplémentation [15], qui sert à ce jour, de référence pour l'évaluation des codes RS.Ces codes ont été standardisés auprès de l'IETF [16].Une matrice de Vandermonde est une matrice V de taille m ¢ n construite à partird'un vecteur de taille m, ( 0 ; 1 ; :::; m 1 ). Dans notre cas, ce vecteur contiendrades éléments d'un corps ni. Dans une matrice de Vandermonde, toutes les élémentsd'une colonne suivent une progression géométrique. En d'autres termes :V = fv i;j g 0i