Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

100 Chapitre 6. Codes à eacements MDS basés sur les FNTnous donne donc ! 2m 1 mod q. ! étant d'ordre n, nous avons donc n 2m, cequi contredit l'hypothèse initiale.Pour la FFT, les indices pairs et impairs de a sont séparés en deux vecteurs a p eta i . L'algorithme de la FFT réduit ainsi le calcul de la DFT de taille n en deux DFT detaille n 2 , dont l'élément d'ordre est !2 et une multiplication par un vecteur de taille nde la manière suivante :⎛ ⎞1( DF T! 2(A = DF T ! (n) ¢ n 2a =) ¡ a )p!DF T ! 2( n 2 ) ¡ a + ⎜ ⎟p ⎝ .! n 1⎠ ¡ ( DF T! 2( n 2 ) ¡ a iDF T ! 2( n 2 ) ¡ a i)(6.3)Le principe de l'algorithme de la FFT est d'appliquer de mécanisme de manièrerécursive. Ce qui permet d'introduire la proposition suivante :Proposition 6.5. L'algorithme de la transformée de Fourier rapide (FFT) est de complexitéO(n log n).Démonstration. Soit T (n) la complexité de l'algorithme de taille n. D'après l'équation6.3, cette complexité peut être ramenée en la complexité de l'opération T ( n ) et la2complexité linéaire du produit et de la somme f (n). Nous avons donc :En développant nous obtenons :T (n) = 2T ( n 2 ) + f (n)T (n) = f (n) + 2(f ( n 2 ) + 2T (n 4 )) = ::: = f (n) + 2f (n 2 ) + 4f (n 4 ) + 8f (n 8 ) + :::f (n) étant de complexité linéaire alors 9a 2 Rnf (n) = an. En conséquence nousavons :T (n) = an + an + ::: +} {{an =}an log 2 n = O(n log 2 n):log 2 n itérationsIllustrons cet algorithme dans le corps ni premier F 17 . Dans ce corps, l'élément4 est d'ordre 4. Soit a = (3; 7; 5; 14) le vecteur déni sur ce corps. L'algorithme de laFFT nous donne le résultat suivant :⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ( ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ( ⎞ ⎛ ⎞1 1 1 1 33 17 12⎜1 4 16 13⎟⎝1 16 1 16⎠ ¡ ⎜ 7DF T !2 ¡⎟⎝ 5 ⎠ = ⎜5)⎝( ⎟3 ⎠DF T1 13 16 4 14!2 ¡5) + ⎜ 4DF T !2 ¡⎟ ⎜14)⎝16⎠⎝( ⎟7 ⎠DF T13!2 ¡14) = ⎜ 4⎟⎝ 4 ⎠9