Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

Chapitre 4. Codes à eacements à décodage hybride avec matrice génératrice76bande⎛H =⎜⎝a 0;0 1a 0;1 a 1;0 u 1 1a 0;2 a 1;1 a 2;0 u 2 u 1 1a 0;3 a 1;2 a 2;1 u 3 u 2 u 1. ... a 1;3 a 2;2. .. . u3 u 2. .. . .... a 2;3 . u ..3..... 1u 1 1⎞⎟⎠Figure 4.2 Matrice de parité associée à une matrice génératrice bande, la partie degauche est bande, la partie de droite est de Toeplitz triangulaire inférieurel'ensemble des mots du même code. Ces deux matrices sont orthogonales. Nous avonsdonc la relation suivante :HG T = 0Grâce aux dénitions précédentes, cette relation se transforme en :(AjU)( Id kM T ) = 0 , A ¨ UMT = 0 , A = UM TCe résultat permet de donner une relation importante entre la matrice bande etla matrice de parité. D'après la proposition 4.2, et d'après la construction de U priseen hypothèse, on en déduit la relation entre les colonnes de la matrice A et leurspolynômes associés a i (x), la matrice U et les lignes de la matrice M, m i (x) pour touti 2 (0; 1; :::k 1).8i 2 (0; 1; :::; k 1);a i (x) = u(x)m i (x)Grâce à cette relation, il va ainsi être possible de construire des matrices génératricesà structure bande en tenant compte de la matrice de parité. Une particularitéde ce résultat est d'ailleurs de nous indiquer la structure de la matrice de parité associée.En eet, si U est une matrice de Toeplitz triangulaire inférieure, alors A auraégalement une structure restreinte à une bande, comme représenté sur la Figure 4.2.Nous rappelons que le poids de Hamming d'une séquence est le nombre d'élémentsnon nuls de celle-ci. De manière similaire, le poids de Hamming d'un polynôme p(x)est déni par le nombre de monômes non nuls et sera noté W (p).4.2.3 Construction des matricesAn de supporter un décodage itératif sur la matrice de parité ecace, il estnécessaire que celle-ci soit creuse. En d'autres termes, le nombre d'éléments non nulspar colonne de la matrice devra être faible. En utilisant la représentation polynômiale