Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

10 Chapitre 2. Etat de l'art et principales notionsG s = (Id k jM)De nombreux types de codes utilisent cette structure de matrice génératrice, cependantune large famille de code, notamment les codes de type LDPC, utilisent lastructure suivante.Dénition 2.8. Soit C un code de dimension k et de taille n. Une matrice H estappelée une matrice de parité de code si et seulement si 8X 2 C; HX = 0 et H est derang plein. En d'autres termes, H est une matrice de parité si et seulement si H estde rang plein et Ker (H) = fCgPropriété 2.9. Soit un code systématique C de paramètres (k; n), dont la matricegénératrice G s'écrit sous la forme : G = (Id k jM). Alors la matrice H = ( M T jId n k )est une matrice de parité de ce code.Démonstration. Directe.Le décodage d'un code correcteur ayant comme objectif de retrouver la séquenceayant été la plus probablement envoyée, et donc la plus proche de celle reçue, il estnécessaire d'introduire une notion de distance. Dans la théorie des codes, la mesureutilisée pour la distance est la distance de Hamming, basée sur le poids de Hamming.Dénition 2.10. Le poids de Hamming d'une chaîne de symboles sur un alphabetdonné est le nombre de symboles diérentes du symbole nul. Dans le cas du corps F 2 ,le poids de Hamming d'un vecteur est le nombre de bits à 1 du vecteur.Dénition 2.11. La distance de Hamming entre deux vecteurs a et b de symboles estle poids de Hamming du vecteur a b.On montre aisément que cette dénition vérie les conditions nécessaires à unedistance (symétrie, nullité, inégalité triangulaire).L'application de la distance de Hamming à un code, amène à s'intéresser à ladistance minimale d'un code.Dénition 2.12. La distance minimale d min d'un code linéaire est la distance deHamming minimale existant entre deux mots du code distincts. Grâce à la structured'espace vectoriel du code, elle est équivalente au poids minimal de l'ensemble desmots du code.Cette distance minimale d'un code a un impact direct sur la capacité de correctiond'un code. En eet, celle-ci traduit la distance minimale existant entre deux mots ducode, et donc dans le cadre d'un code à eacements, celui-ci sera toujours capablede corriger un nombre d'eacements strictement inférieur à cette distance.Cette distance minimale possède une borne supérieure qui dépend de la longueur etde la dimension du code. Les codes qui atteignent cette borne supérieure sont appeléscodes à maximum distance séparable (MDS) et possèdent une capacité de correctionoptimale.