Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

14 Chapitre 2. Etat de l'art et principales notionsCes matrices ont été utilisées pour la première fois en tant que codes à eacementsen 1989 par Rabin [6] pour améliorer la abilité du stockage distribué. Dansle cadre de la abilisation de transmissions dès 1995 [18] couplées à des mécanismesd'optimisation bas niveau. Les résultats de simulation sur ces codes ont montré queceux-ci respectaient mieux la complexité quadratique que les codes de Rizzo et obtenaientde meilleurs performances sur des longues tailles de code, sans que celles-cisoient réellement utilisables. Ce code possède des éléments brevetés.Les matrices de Cauchy ont également servi de support sur des codes implémentésau sein de l'ISAE par Jérôme Fimes et al. [19]. Le corps ni d'étude est ici identiqueà celui que nous utiliserons lors du chapitre 6. Contrairement aux codes précédents,les opérations basiques sont ici sur le corps des entiers modulo un nombre premier,ce qui a permis de nombreuses optimisations, notamment sur des systèmes 64-bit.Les résultats de simulation ont montré que ces codes étaient bien plus rapides queles deux autres présentés ci-dessus, tout en étant, néanmoins, toujours soumis à unecomplexité intrinsèquement quadratique.Dans le chapitre 6, nous proposerons une implémentation des codes de Reed-Solomon, non pas sur les corps du type F 2 m, mais sur des corps du type Fp où p estun nombre de Fermat premier. Nous verrons que sur ce type de corps, il est possiblede dénir un encodage et un décodage systématique sur le canal à eacements depaquets de complexité O(n log n) grâce à l'utilisation de transformées de Fourier. Nousverrons que ces codes permettent alors une utilisation de codes MDS sur des longueurspouvant atteindre plus de 10.000 symboles avec un vitesse de plus de 50Mbps.2.2.5 Les codes à eacements non-MDSComme nous l'avons vu, le défaut majeur des codes MDS actuels concerne leurcomplexité théorique prohibitive pour de de grandes longueurs. L'extension naturellede l'algorithme de décodage des codes MDS aux autres types de codes peut être dénide la manière suivante.Dénition 2.14. Le décodage à maximum de vraisemblance d'un code à eacementsquelconque consiste à vérier que la sous-matrice de la matrice génératrice correspondantaux symboles reçus est de rang k, où k est la dimension du code. Si cettecondition est vériée, la sous-matrice de rang k est inversée et les symboles d'informationsont obtenus en multipliant la matrice inversée par le vecteur de symbolesreçus.Cet algorithme peut être appliqué à n'importe quel code à eacements. Il est estoptimal en termes de capacité de correction et donne donc les limites du code parrapport à ce paramètre. Le point faible de cet algorithme est sa complexité : l'inversionde la matrice est de complexité cubique (pour une matrice non-structurée) et le produitmatrice-vecteur est de complexité quadratique.L'objectif d'un algorithme de décodage d'un code donné est de se rapprocher desperformances ML en termes de capacité de correction tout en réduisant la complexité