Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

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88 Chapitre 5. Codes de Reed-Muller pour le canal à eacements de paquetsà r 1. D'après la dénition d'un code de Reed-Muller, en évaluant le polynôme f surf(0; 0; :::; 0; 0); (1; 0; :::; 0; 0); :::; (1; 1; :::; 1; 0)g, ceci est équivalent à l'évaluation deu car x m 1 = 0, puis en évaluant sur f(0; 0; :::; 0; 1); (1; 0; :::; 0; 1); :::; (1; 1; :::; 1; 1)g,nous avons bien ici l'évaluation de u + v. En concaténant l'évaluation totale, nousobtenons bien le résultat souhaité.Il est alors important de noter que le code RM(0; m) correspond au code à répétitioncar k = 1 et que le code RM(m; m) peut être ramené au code à identité,c'est-à-dire au code dont la matrice génératrice est la matrice identité. Cela revientdans ce cas à évaluer le polynôme source sur sa base propre et non plus sur la baseclassique telle que celle de la dénition 5.3, ce qui ne modie en rien les propriétésdu code. A partir de ce point, pour des raisons de commodité, nous utiliserons laconstruction de Plotkin pour les codes de Reed-Muller, en gardant à l'esprit que lesrésultats sur la base classique sont équivalents.Théorème 5.5. Soit un code de Reed-Muller RM(r; m), 0 r m, et n = 2 m lataille du code associé. Chaque élément de ce code peut être construit et décomposé enéléments de code à répétition et de code identité. La complexité d'une telle opérationest O(n log n).Démonstration. La première partie s'obtient directement en appliquant la proposition5.4 de manière récursive.Soit T (n) le coût de la construction/décomposition d'un élément de RM(r; m).Grâce à la construction de Plotkin, ce coût peut être ramené au coût de la construction/décompositionde taille n 2 et un coût linéaire an, où a 2 R+ .De manière récursive nous avons donc :T (n) = an + 2T ( n 2 ) = an + an + 4T (n ) = ::: = an + an + ::: + an =4 } {{ }an log 2 nlog 2 n itérationsD'où la complexité annoncée.= O(n log 2 n):La décomposition récursive est illustrée sur la Figure 5.1.A ce stade, nous venons donc de prouver qu'il est possible d'utiliser les codes deReed-Muller en tant que code à eacements, avec un encodage et un décodage decomplexité logarithmique.Cependant, en pratique, les résultats de simulation ont montré que la capacité decorrection de ce code en utilisant ce simple décodage est mauvaise. La construction dePlotkin permet donc de poser les bases d'un codage ecace mais nécessite quelquesadaptations an de proposer un décodage pertinent.
5.2. Présentation du code 89Figure 5.1 Représentation de la décomposition récursive du code RM(2; 4)5.2.2 Utilisation du décodage par permutationsLes codes de Reed-Muller ont vu une grande partie de leurs applications concernerle canal à erreur. Sur ce type de canaux, la problématique du décodage ne concernepas tant la mise en place du décodage récursif, que le type de décision pris lorsquedes erreurs sont détectées. Sur le canal à eacements, la problématique est inverse.Ici nous sommes assurés que les symboles reçus sont corrects, cependant les autressymboles sont totalement inconnus. Ce qui signie que le problème majeur du décodagerécursif sur le canal à eacements est de pouvoir transmettre le maximumd'information possible aux vecteurs de récursions inférieurs.Illustrons cette problématique par un exemple. Soit un code RM(1; 3) qui a doncpour dimension k = 4 et pour longueur n = 8. Soit le vecteur a = (a 0 ; a 1 ; :::; a 7 ) de cecode. Prenons l'hypothèse que le récepteur n'a reçu que les positions suivantes a r =(uju ¨ v ) = (a 0 ; ¢; ¢; ¢; ¢; a 5 ; a 6 ; a 7 ). En eectuant une première décompositionrécursive, le vecteur v 2 RM(0; 2) est totalement inconnu, ce qui rend le décodageimpossible. Comme nous le voyons sur cet exemple, le point bloquant du décodagerécursif est l'impossibilité de décoder des éléments récursifs de bas niveau, qui sontassimilables à des "stopping sets". Par ailleurs, nous voyons que la réussite du décodagen'est pas uniquement dépendante du nombre de symboles reçus, mais également deleurs positions.Il est important de rappeler à ce moment que tout code de Reed-Muller peutêtredécomposé récursivement en codes à répétitions, décodables si au moins une despositions est connue, et en codes identités, nécessitant la connaissance entière duvecteur.Les codes de Reed-Muller possèdent néanmoins une propriété intéressante :Propriété 5.6. Le code de Reed-Muller binaire RM(r; m) avec n = 2 m admet commegroupe de permutations le groupe ane GA(m) [17]. Ceci revient à dire que si a =(a 0 ; a 1 ; :::; a n 1 ) 2 RM(r; m) alors a 0 = (a ¥(0) ; a ¥(1) ; :::; a ¥(n 1) ) 2 RM(r; m) où¥(x) est une permutation de GA(m).
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THÈSEEn vue de l'obtention duDOCTO
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iiannée de thèse : Julien, Paul,
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ivTable des matières4.3 Analyse th
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viTable des gures4.2 Matrice de par
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Chapitre 1IntroductionLes thèses l
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1.2. Organisation du document 3une
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8 Chapitre 2. Etat de l'art et prin
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