Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

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110 Chapitre 6. Codes à eacements MDS basés sur les FNT6.2.5 Encodage/décodage quadratique en tant que code de Reed-SolomonLorsque les tailles de codes sont inférieure à quelques centaines d'éléments, il peuts'avérer plus ecace d'utiliser un algorithme classique de complexité quadratique parrapport à l'encodeur/décodeur logarithmique. De par sa structure, le code RS-FNTest un code de Reed-Solomon et peut donc être encodé et décodé comme tel. Dansce cas, les symboles de redondance sont donc construits directement par la matricegénératrice du code, et les symboles sources sont décodés grâce à la matrice depassage des symboles de redondance aux symboles sources.Dans le cadre de l'implémentation du code, deux encodeurs quadratiques ont étéretenus. L'algorithme le plus classique consistant à calculer les n k symboles de redondanceà partir des k symboles sources et de la matrice génératrice du code.Ce code a donc une complexité de O(k ¢ (n k)). Ce code ressemble trèsfortement aux algorithmes d'encodage des codes de Reed-Solomon classiques. Un algorithme adapté aux petits taux de codage qui tire parti de la FNT. Danscet algorithme, les symboles intermédiaires sont obtenus par la matrice de taillek ¢ k à partir des symboles sources. Par la suite, ces symboles intermédiairessont directement codés par la FNT, de la même manière que l'algorithme decomplexité quadratique. La complexité associée à cet encodeur est donc O(k 2 +n log n).6.3 Etude de la complexité théoriqueSi nous avons pu déterminer une estimation de la complexité théorique des codesFNT, il peut s'avérer utile de pouvoir exprimer la complexité du code en évaluantle nombre réel de FNT eectuées. Dans ce paragraphe nous noterons F NT (x) lacomplexité de la FNT de taille x.Tout d'abord, il est nécessaire d'établir la complexité du décodage FNT. Commenous l'avons vu précédemment, le calcul de a(x) et l'évaluation de sa dérivée ont uncoût négligeable lors de l'adaptation aux paquets/symboles. En conséquence, seule lacomplexité du calcul de la somme fractionnaire est utile. Comme nous avons pu le voirgrâce à la proposition 6.13, ce calcul consiste en l'évaluation du polynôme B(x) dedegré strictement inférieur à n et au produit de deux polynômes de degrés k et k 1.L'évaluation du polynôme B(x) correspond directement au calcul de la FNTde taille n de celui-ci. Sa complexité est donc F NT (n). En utilisant l'algorithmede Schönhage-Strassen de la proposition 6.9, le calcul du produit sur une taille 2kcorrespond à celui de 3 FNT. La complexité de ce produit est donc de l'ordre de3F NT (2k). En règle générale, le coût du décodage de la FNT est donc de l'ordre deF NT (n) + 3F NT (2k).A titre d'exemple, lorsque le taux de codage est de 1 , le coût du décodage de la2FNT est donc de 4F NT (n). Nous pouvons dès lors résumer cette complexité sur lesTableaux 6.1 et 6.2.
6.4. Résultats de simulation 111Non systématique SystématiqueEncodeur FNT(n) 2FNT(n)+3FNT(2k)Décodeur FNT(n)+3FNT(2k) 2FNT(n)+3FNT(2k)Table 6.1 Complexité théorique de l'encodeur et du décodeur RS-FNTNon systématique SystématiqueEncodeur FNT(n) 5FNT(n)Décodeur 4FNT(n) 5FNT(n)Table 6.2 Complexité théorique de l'encodeur et du décodeur RS-FNT, taux decodage 1 2Ces résultats sur la complexité mettent en lumière le fait que le décodeur n'estque peu aecté par le codage systématique, contrairement à l'encodeur. Ils mettentégalement en valeur l'importance prise par le produit des deux polynômes de degrésk et k 1 dont nalement, seuls les k premiers monômes sont utiles. Comme nousl'avons par ailleurs discuté, ceci met en évidence l'importance de la résolution de ceproduit, connu sous le nom de short product sur des FNT réduites à une taille k. Sicette question ouverte était résolue, le gain théorique de vitesse pourrait atteindre67% lorsque le taux de codage est de 1 2 .6.4 Résultats de simulationNous avons mené des simulations sur le code RS-FNT que nous avons comparé àdiérents codes de Reed-Solomon classiques : L'implémentation classique des codes de Reed-Solomon par Luigi Rizzo [15],sur des matrices de Vandermonde, reconnue pour son ecacité sur des petitestailles de codes. Ce code a été testé en utilisant des tailles de corps adaptées. La construction XOR-based [18] des codes de Reed-Solomon grâce à des matricesde Cauchy. De par sa construction, ce code permet de rester proche dela complexité quadratique intrinsèque des codes de Reed-Solomon. Ce code aégalement été testé en ajustant au mieux la taille du corps en fonction de lataille du code. Les codes MDS basés sur des matrices de Cauchy [19] sur le corps F 65537développés à l'ISAE. Le corps ni utilisé est donc identique à celui des RS-FNT.La diérence avec les codes précédents vient donc de l'arithmétique eectuéesur ce code. Ce code est par ailleurs particulièrement adapté à une architecture64-bit.Pour le code RS-FNT, nous utilisons un encodeur/décodeur de complexité quadratiquetel que présenté dans la partie 6.2.5 pour les petites tailles de codes. L'algorithmeest alors très similaire aux autres codes. L'encodeur/décodeur de complexitélogarithme prend alors le relais lorsque les tailles impliquées dépassent la centaine
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THÈSEEn vue de l'obtention duDOCTO
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