Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

6.2. Construction des codes RS-FNT 107Démonstration. Soit ! un élément d'ordre n du corps, soit s = (s 0 ; s 1 ; :::s k 1 ) l'ensembledes k éléments sources de Fq et ∑ k 1s(x) = s i=0 ix i son polynôme associé.L'encodage via la FNT produit un ensemble d'éléments codés (c 0 ; c 1 ; :::; c n 1 ) surF n q.Soient les vecteurs c 0= (c 0 ; c 0 ; :::c 0 0 1 k 1 ) et = ( 0; 1 ; ::: k 1 ) les k premierséléments reçus et leurs points d'évaluation respectifs. La proposition 6.15 nous permetde retrouver l'ensemble des éléments sources s à partir de n'importe quels k élémentsc 0 grâce à l'interpolation lagrangienne :k∑1s(x) = c 0i ¢ ∏i=0 j6=ix j i jSoit le polynôme a(x) = ∏ k 1j=0 (x j ) de degré k. Soient les polynômes a i (x) =∏ k 1j=0;j6=i (x j )de degré k 1 dénis pour i 2 (0; 1; :::; k 1). Nous avons a i (x) =a(x)x i. Le polynôme s(x) peut alors être réécrit comme suit :k∑1s(x) = a(x) ¢ c 0 1i ¢(x i )a i ( i )i=0Calculons la dérivée de a(x) en tant que polynôme. Par développement, cettedérivée s'exprime sous la forme a ∑ 0 k 1∏ k 1(x) =i=0 j=0;j6=i (x j ), ou autrement :a ∑ 0 k 1(x) = a i=0 i (x). Il est alors important de noter que si i 6= j, alors a i ( j ) = 0. Onobtient alors l'égalité suivante :a 0 ( i ) = a i ( i )Ce résultat important nous permet donc de réécrire le polynôme s(x) :k∑1s(x) = a(x) ¢i=0c 0i =a0 ( i )x iGrâce à la proposition 6.10, le calcul du polynôme a(x) peut être eectué dans lecas général avec la complexité O(k log 2 k). Lorsque les k premiers éléments sont reçus,nous avons i = ! i et alors dans ce cas, grâce à la proposition 6.11, la complexitéchute à O(k log k).Le calcul de la dérivée a 0 (x) est de complexité linéaire O(k) et donc négligeable.L'évaluation de la dérivée sur les i est de complexité O(n log n) car elle correspondà l'évaluation sur la sous-suite des ! i et donc à la FNT de a 0 (x) de taille n.En posant d i =c 0 i, le calcul de s(x) revient donc au calcul de :a 0 ( i )k∑1ds(x) = a(x) ¢ ix ii=0