Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

6.2. Construction des codes RS-FNT 1038i 2 f0; 1; :::; n 1g; c i = s(! i )Le décodage peut donc être vu comme un problème général d'interpolation polynômiale.Il s'agit ici, de déterminer le polynôme de degré k 1, s(x) à partir de kpoints d'évaluations reçus faisant partie d'une suite en progression géométrique. Cettevue nous permet d'ailleurs de démontrer d'une autre manière le caractère MDS de laFNT.L'interpolation polynômiale est un vaste domaine étudié depuis de très nombreusesannées et qui possède un large éventail de solutions. Certaines solutions de complexitéO(n log n) ont été proposées. Toutefois, elles sont relativement diciles à implémenteren l'état et la plupart des solutions et implémentations classiques possèdent unecomplexité quadratique. L'algorithme de décodage que nous présentons permet quantà lui d'eectuer cette interpolation et de décoder la FNT avec une complexité pratiquede O(n log n).Prérequis mathématiquesTout d'abord, nous présentons quelques résultats utiles à l'algorithme de décodage.Dans le cas général, la multiplication de deux polynômes de degré strictementinférieur à n est de complexité O(n 2 ) en utilisant une méthode naïve où chaqueproduit de monômes est calculé. Dans les années 1960, Karatsuba a présenté unalgorithme [80] permettant de réduire la complexité théorique de cette multiplicationà O(n log 23 ) ' O(n 1:59 ). Soient les polynômes a(x) = a 1 x + a 0 et b(x) = b 1 x + b 0 ,l'algorithme de Karatsuba utilise la décomposition de a(x)b(x) suivante :a(x)b(x) = a 1 b 1 x 2 + (a 1 b 1 + a 0 b 0 (a 1 a 0 )(b 1 b 0 ))x + a 0 b 0Cette décomposition ne requiert ainsi que 3 multiplications et permet d'atteindrela complexité proposée. Toom et Cook [81][82] ont généralisé cette méthode pour desschémas de polynômes de degré k qui ont donné les algorithmes de Toom-k, et quilog(2k 1)sont de complexité O(nlog k). Cependant ces algorithmes trainent une constanteprohibitive dès lors que k dépasse 5. L'algorithme de multiplication polynômiale quenous allons utiliser ici est une adaptation de l'algorithme de Schönhage-Strassen [83]aux corps nis.Proposition 6.9. (Schönhage-Strassen) Soient a(x) = ∑ n 1i=0 a ix i et b(x) = ∑ n 1i=0 b ix ideux polynômes à valeurs dans (Fq) n avec q > 2n. Il est possible d'en calculer le produita(x)b(x) avec la complexité M(n) = O(n log n).Démonstration. Soit ! un élément d'ordre 2n dans le corps considéré. La DFT-2n despolynômes a(x) et b(x) peut être vue grâce à la proposition 6.7 comme l'évaluationde ces polynômes sur les diérents ! i . Soient A et B ces DFT, nous avons :8i 2 f0; 1; :::; 2n 1g; A i = a(! i ); B i = b(! i )