Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

104 Chapitre 6. Codes à eacements MDS basés sur les FNTIl est possible d'eectuer le produit terme à terme de ces deux vecteurs ce quidonne :A i B i = a(! i )b ( ! i ) = ab(! i ):Le vecteur produit contient donc l'évaluation du polynôme produit a(x)b(x) dedegré strictement inférieur à 2n, sur 2n points. Tous les points d'interpolation étantconnus, il est donc possible d'appliquer directement la transformée de Fourier inversean de retrouver le polynôme produit. En utilisant la FFT, la complexité de cetteopération est donc O(n log n). En d'autres termes nous avons :a(x)b(x) = F F T1 (F F T (a) ¡ F F T (b))De ce résultat, nous obtenons la proposition suivante :Proposition 6.10. Soit (j 0 ; j 1 ; :::; j n 1 ) un vecteur de F n q où n est une puissance de2. Le calcul du polynôme ∏ n 1j(x) = (x j i=0 i ) peut être eectué avec la complexitéO(M(n) log n) = O(n log 2 n).Démonstration. n étant une puissance de deux, il est possible ici d'appliquer uneméthode de type diviser pour régner. En l'occurrence, on divise le polynôme j(x) endeux polynômes j ∏ n 21 (x) = 1(x j i=0 i ) et j ∏ n 12 (x) = (x ji= n i ). La complexité T (n)2de calcul du polynôme j(x) peut donc s'écrire :T (n) = 2T ( n 2 ) + M(n 2 )En appliquant récursivement ce mécanisme, nous obtenons :T (n) = M( n 2 ) + 2(M(n 4 ) + 2T (n 4 ) + :::):En majorant les M( n 2 i ) par a n 2 i log n, grâce à la proposition 6.9, nous obtenons :T (n) an log n + an log n + ::: + an log n = an log} {{ }2 n 2 = O(n log2 n): 2log 2 n itérationsUn cas particulier permet cependant de réduire la complexité de ce calcul.Proposition 6.11. Lorsque les (j 0 ; j 1 ; :::; j n 1 ) sont en progression géométrique, j i =a i , la complexité de calcul de j(x) est réduite à O(M(n)) = O(n log n).