Mécanismes de fiabilisation pro-actifs - ISAE

86 Chapitre 5. Codes de Reed-Muller pour le canal à eacements de paquetsde Plotkin [74], cependant dans sa version classique, celle-ci soure d'une capacité decorrection médiocre rendant son application pratique caduque. Une technique largementétudiée pour le canal à erreur consiste à eectuer un décodage par permutations,qui permet d'améliorer de manière substantielle la capacité du code, tout en permettantde conserver la structure récursive du décodage.Nous proposons donc d'adapter ce décodage récursif par permutations au canal àeacements, auquel nous ajoutons des mécanismes supplémentaires, respectivementun mécanisme de remontée partielle et un décodage à blanc. Nous étudierons l'impactde l'ensemble de ces mécanismes sur la capacité et la complexité du code, que nouscomparerons à un décodage par maximum de vraisemblance (ML).5.2 Présentation du codeDans cette partie, nous présentons le principe des codes de Reed-Muller et lesaméliorations proposées pour l'adaptation au codage à eacements.5.2.1 Présentation des codes de Reed-MullerLes codes de Reed-Muller peuvent être dénis de plusieurs manières, la méthodela plus directe étant la suivante :Dénition 5.1. (Codes de Reed-Muller) Le code de Reed-Muller binaire de paramètresr et m où 0 r m, correspond à l'espace vectoriel formé par les vecteurs des valeursdes fonction binaires à m variables et de degré strictement inférieur à r. Ce code seranoté RM(r; m).Proposition 5.2. La dimension d'un code de Reed-Muller RM(r; m) est k ∑ r( m)=i=0 iet sa longueur est n = 2 m .Démonstration. La dimension k d'un code de Reed-Muller, par dénition, correspondau cardinal de toute base génératrice de fonction binaire à m variables et de degréstrictement inférieur à r. Soit (x 0 ; x 1 ; :::x m 1 ) l'ensemble des m variables. Il est possiblede choisir la base formée des monômes de toutes les combinaisons de x i comportantmoins de r variables.Soit 0 i m, l'ensemble des monômes distincts comprenant i variables parmim. Par analogie combinatoire, ceci revient à dénombrer l'ensemble des choix de iéléments possibles parmi m. Cette valeur est donc égale à ( )mi .La base des fonctions à m variables de degré inférieur à r étant formée de l'ensembledes monômes à i variables parmi m et ceci pour 0 i m, la dimension ducode est donc k ∑ r( m)=i=0 i .La longueur du code étant dénie par la longueur de chaque élément de la base,elle correspond à l'ensemble des valeurs binaires prises par les x i et est donc de taille2 m .