Capitolo 17 – Le Vibrazioni Meccaniche

LE VIBRAZIONI MECCANICHE
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Tale risultato mostra che in tale sistema le velocità angolari delle
due masse sono inversamente proporzionali ai loro momenti d'inerzia,
e, in particolare, il segno negativo indica che, in qualsiasi
istante, esse saranno discordi.
Si può allora concludere che dovrà esservi di conseguenza una sezione
dell'albero (sezione nodale) che non subirà alcuna rotazione
relativa e rispetto alla quale ciascun volano si muoverà certamente
di moto oscillatorio.
Allora dovrà esservi pure un unico valore per la pulsazione naturale
del sistema e quindi per il periodo: se così non fosse, infatti,
dopo un certo tempo ω 1 avrebbe lo stesso segno di ω 2
contraddicendo la precedente relazione.
Che tale conclusione non dipende dalle condizioni iniziali
ora ipotizzate si deduce scrivendo separatamente le condizioni di
equilibrio dinamico di ciascuna delle due masse del sistema; dovremo
scrivere:
( )
( )
J1ω1 + k ϑ1− ϑ2
= 0
J ω+ k ϑ − ϑ = 0
(8)
2 2 2 1
con:
k GI
4
p Gd π
= =
L 32L
e che devono essere contemporaneamente verificate.
Per queste due equazioni differenziali del moto si possono assumere
come soluzioni:
( n )
( )
ϑ = ω t + Acos ω t −ϕ
1 0 1 1
ϑ = ω t + Bcos ω t −ϕ
2 0 n2
2
le quali, ovviamente dovranno soddisfare le precedenti per qualsiasi
valore di t.
Se deriviamo due volte queste ultime otteniamo:
Ora poiché dalle (8) si ha:
( 1 1)
( )
2
ω=−ω Acos ω t −ϕ
1 n1 n
2
ω=−ω Bcos ω t −ϕ
2 n2 n2
2
(9)
(10)