Capitolo 17 – Le Vibrazioni Meccaniche

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CORSO DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE
pulsazione naturale, ωn , ed il "∆ statico", ∆F0 , come visto nel § 11,
questa equazione differenziale del moto si può ricondurre alla forma:
2 2
x + 2dx+
ω x = ω ∆ F cos(
ωt)
(35)
n n
La soluzione completa della (35) sarà data dalla somma della
cosiddetta risposta in transitorio, (la soluzione della omogenea
associata), e della risposta a regime (la soluzione particolare).
Se si ipotizza per la soluzione particolare ancora una forma sinusoidale
della stessa frequenza della forzante, la risposta completa
sarà una forma del tipo:
0
( )
α1t α2t
x = Ae + A e + X cos ωt + ϕ
1 2
La risposta in transitorio
avrà una delle tre forme
già trovate al §10, in dipendenza
del particolare
valore assunto dal fattore
di smorzamento, ed inoltre
abbiamo visto che, comunque,
dopo un tempo
più o meno lungo, la sua
influenza sarà nulla.
Per quanto concerne, invece,
la risposta a regime la
ricerca della soluzione par-
Figura 39
ticolare della (35) risulterà
più agevole se, ricordando che è:
iωt e = cos( ωt) + isen ( ωt)
si pone che la forza eccitatrice esterna sia la parte reale di una
iωt forma complessa F = Fe 0 ossia F =ℜ F.
Ne segue che anche per
la soluzione particolare si può porre:
in cui è:
x =ℜ x =ℜ Xe
iω t
i( ωt+ ϕ) iϕ iωt iω t
x = Xe = Xe e = Xe
Partendo da tali presupposti avremo allora: