Capitolo 17 – Le Vibrazioni Meccaniche

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CORSO DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE
gno negativo.
I valori significativi per
le ascisse di questa funzione
sono:
r = 0 in cui A=1
r = 1 in cui |A|=∞
r = 2 in cui |A|=1
r=∞ in cui A=0
ed inoltre è:
|A|>1 per 0< r < 2
|A| 2
In corrispondenza al valore
r=1, per il quale
Figura 35
|A|=∞, si verifica il fenomeno
della risonanza, definito come quella condizione in cui la
risposta del sistema si esalta tendendo ad un'ampiezza di valore
infinito.
Si comprende tuttavia che, trattandosi di moti oscillatori, l'avere
trovato che per r=1 è |A|=∞, e quindi anche (31) X=∞, non può lasciar
concludere che sia senz'altro (30) anche xp =∞. Infatti, se così
fosse realmente, ne verrebbe che il corpo compirebbe una oscillazione
di ampiezza infinita in un tempo necessariamente finito (il
periodo).
Si deve dire allora che in corrispondenza al valore r=1, la soluzione
trovata per l'equazione del moto non è più corretta. In effetti
per r=1 è ω=ωn e l'equazione differenziale diventa:
( )
2 2
x+ ω x= ω F cos ω t
∆ (33)
n n 0 n
la cui soluzione particolare può essere del tipo:
Ne segue:
( )
x = X tsen ω t
(34)
r r n
[ ( ω ) ω ( ω ) ]
ω ( ω ) ω ( ω ) 2
ω ( ω )
2ω
cos( ω ) 2
ω sen(
ω )
x= X sen t + tcos t
r r n n n
[ ]
[ ]
x = X cos t + cos t − tsen t =
r r n n n n n n
= X t − t t
e sostituendo nella (33):
r n n n n