Capitolo 17 – Le Vibrazioni Meccaniche

LE VIBRAZIONI MECCANICHE
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l'inizio.
Operando nelle (10) le stesse sostituzioni utilizzate nelle (9), si ha
poi:
( 1)
( t )
2
ω1=−ωnAcos ωnt−ϕ 2 1
ω2=−ωnAcos ωn −ϕ
J
J
La prima delle (8) si può allora scrivere:
2
1
(10')
⎛ J ⎞
2
1
J1ωnAcos( ωnt− ϕ1) + kA⎜1+
⎟cos( ωnt− ϕ1)
= 0
⎝ J2
⎠
ossia, semplificando:
⎛ ⎞
2 J1
− J1ω n + k⎜1+
⎟ = 0
⎝ J2
⎠
Da qui si ricava il quadrato della pulsazione naturale dei due volani:
2 J1+ J ⎛ 2 1 1 ⎞
ωn = k = k⎜ + ⎟
JJ 1 2 ⎝ J1 J2⎠
Questa stessa espressione può essere ricavata in modo più
immediato dalle stesse (8) introducendo, per il moto relativo, la
nuova variabile θ=θ2-θ1 , cui corrisponde ω=ω2-ω1 , e quindi
ω = ω 2 −ω
1.
Seguendo tale via, basta moltiplicare la prima delle (8) per
J2 e la seconda per J1 ottenendo:
( )
( )
JJω−kJϑ − ϑ = 0
1 2 1 2 2 1
JJω+ kJϑ
− ϑ = 0
1 2 2 1 2 1
Sottraendo la prima dalla seconda si ha:
JJ ω − ω + k J+ J ϑ − ϑ =
( ) ( )( )
1 2 2 1 1 2 2 1 0
dalla quale, sostituendo la nuova variabile:
J1+ J2
ω+ k ϑ=
0
JJ 1 2
in cui è chiaramente: