Capitolo 17 – Le Vibrazioni Meccaniche

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CORSO DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE
⎧ϑ1
= ωt+ ϕ1
⎨
⎩ϑ2
= ωt+ ϕ2
osservando che è comunque (ϑ2-ϑ1 )=(ϕ2-ϕ1 ), ed analogamente per
le derivate successive: possiamo quindi utilizzare le ϕ, al posto
delle ϑ, come nuove coordinate lagrangiane.
Con tale intesa, la seconda delle equazioni cardinali della dinamica
ci dà allora, per l'equilibrio delle due masse:
⎧ −M0 − K( ϕ1−ϕ2) − J1ϕ
1 = 0 per il 1° volano
⎨
⎩[
M + M( t) 0 ω ] − K( ϕ2 −ϕ1) − J2ϕ
2 = 0 per il 2° volano
da cui il sistema:
⎧J1ϕ
1 + K( ϕ1 − ϕ2)
= −M0
⎨
(46)
⎩J
K( ) M M( t)
2ϕ2 − ϕ1 − ϕ2 = 0 + ω
Per la risoluzione di questo sistema, ricaviamo dalla prima equazione:
⎛ M 0 J1
⎞
ϕ1 − ϕ2 = − ⎜ + ϕ
⎟ 1
(47)
⎝ K K ⎠
da cui:
M 0 J1
ϕ2 = ϕ1 + + ϕ
1
K K
J1
IV
ϕ 2 = ϕ 1 + ϕ1
K
che, sostituite nella seconda, danno:
⎛ J1
⎞ IV
J
M J M M( t)
2⎜ϕ 1 + ϕ
1 ⎟ + 0 + 1ϕ1 = 0 + ω
⎝ K ⎠
ossia:
JJ 1 2 IV
( J J ) M( t)
1 + ϕ 2 1 + ϕ1= ω
K
oppure, moltiplicando per K/(J1J2 ):
2
IV 2 K
ωn
ϕ ω ϕ ( ω ) ( ω )
1 + n 1 = M t = M t (48)
JJ J + J
ricordando (§ 9, C) che è:
1 2
1 2