Capitolo 17 – Le Vibrazioni Meccaniche

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CORSO DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE
del sistema entra a definire il coefficiente di smorzamento critico e
quindi del fattore di smorzamento.
- caso: d=1 ⇒ c=cc Il discriminante dell'equazione caratteristica si annulla, e si
avrà quindi una radice doppia.
In questo caso, allora, il tipo di soluzione ipotizzata per la (14)
non va più bene perché "condizione necessaria e sufficiente perché
una radice di una equazione sia doppia è che essa soddisfi
non solo l'equazione ma anche la sua derivata prima" e quindi
"l'equazione differenziale deve possedere sia la soluzione del tipo
eαt sia la soluzione del tipo teαt. Con d=1, la radice doppia dell'equazione caratteristica è α=-ωn e
quindi possiamo porre come soluzione:
αt −ω
nt
x = ( A + Bt) e = ( A + Bt) e
(22)
Vediamo che in questo caso la soluzione è costituita dal prodotto
di una funzione lineare e di una funzione esponenziale con esponente
negativo; pertanto il corpo ancora una volta tenderà a raggiungere,
in un tempo infinito, la posizione di equilibrio statico
senza mai attraversarla, ma la rapidità con cui ciò avviene è sempre
maggiore (fig. 22 e 23) che non nel caso in cui è d>1: l'esponenziale
negativo predomina sulla funzione lineare.
Cerchiamo le costanti di integrazione per il caso in cui all'istante
t=0 sia x=x0 e x = v0. Avremo:
x0 = A e v0 = B −Aω n
e quindi:
A = x 0 e B = v0 −ω nx 0
La funzione che riproduce la risposta del sistema sarà quindi data
da:
[ 0 ( 0 ωn
0)
]
x = x + v + x t e
− nt
ω (23)
Il modificarsi della risposta al variare della velocità iniziale è mostrato
in fig. 26 ed il risultato è analogo a quello visto nel precedente
caso; vale appena notare che a parità di condizioni la risposta
è un po' più elevata in ampiezza a causa del minor valore del
fattore di smorzamento.