Capitolo 17 – Le Vibrazioni Meccaniche

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CORSO DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE
Poiché é km=ωn 2 , ed inoltre:
c c 2ω
n c
= = 2 ωn m m 2ωn
2mωn
possiamo ancora scrivere:
c
= 2 ωn cc
= 2dω
n
x+ 2dω 2
x+ ω x = 0
(14)
n n
La soluzione di questa equazione differenziale potrà essere
del tipo:
α1t α 2t
x = Ae + A e
(15)
1 2
dove A 1 ed A 2 sono le costanti da determinare in base alle condizioni
iniziali, mentre α 1 ed α 2 sono le radici dell'equazione caratteristica:
d n n
2 2
α + 2 ω α+ ω = 0
Il discriminante di questa equazione è:
( )
d ω − ω = ω d −
2 2 2 2 2
n n n 1
e la sua forma mette subito in evidenza come il numero ed il tipo
delle radici della equazione caratteristica dipendono essenzialmente
dall'essere d maggiore, eguale, o minore dell'unità, ossia dall'essere
c maggiore, eguale, o minore di c c ; e si può prevedere che a
questi tre casi corrisponderanno tre tipi di moto diversi per il corpo.
- caso: d > 1 ⇒ c > c c
Le radici della equazione caratteristica, reali e distinte, sono:
( )
( )
2 2
α =− dω + ω d − 1=−ω d − d −1
1
2 2
α =−dω −ω d − 1=− ω d + d −1
2
n n n
n n n
(16)
2
Ora, poiché è sicuramente d − 1 < d,
le quantità entro parentesi
sono certamente positive e quindi entrambe le radici sono negative;
pertanto, in questo caso, la soluzione dell'equazione differenziale
sarà del tipo:
x = Ae + A e
−α1t −α2
t
1 2
(17)
La forma della (17) rivela che la massa avrà un moto aperio-