Capitolo 17 – Le Vibrazioni Meccaniche

LE VIBRAZIONI MECCANICHE
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x= X cos ωt+ ϕ (38)
in cui le espressioni di X e di ϕ sono quelle già trovate nei §§ precedenti.
La risultante delle forze agenti sul basamento sarà la
somma di quella trasmessa dalla massa vibrante attraverso le molle
e di quella trasmessa attraverso lo smorzatore.
Potremo quindi scrivere:
Ft = kx+ cx
Se dividiamo per m, abbiamo:
Ft
2
= ωnx+ 2dωnx m
oppure:
Ft
k Ft
2 2
= ωn = ωnx+ 2dωnx k m k
Se sostituiamo in questa espressione quelle di x e di &x che si ricavano
dalla (38) otteniamo:
Ft
2 2
ω X[ ( t ) d ( t )
n = ωncos ω + ϕ − 2 ωnωsen ω + ϕ ]
k
2
che, divisa per ω n,
dà:
Ft
= X [ cos( ωt+ ϕ) − 2 dr sen(
ωt+ ϕ)
]
k
Vediamo subito che la forza complessiva trasmessa al basamento
è costituita da due componenti in quadratura: la reazione della
molla, infatti, è massima quando la velocità è nulla (ed è massimo
lo spostamento), mentre la resistenza viscosa è massima quando è
massima la velocità (ed è nullo lo spostamento).
La somma di queste due componenti darà quindi:
Ft
2
= X 1+ ( 2dr)
cos( ωt + β )
k
con β dato dalla somma algebrica delle fasi:
3 ⎛ 2dr
β= ϕ+
arctg( 2dr)
= arctg⎜−
2
⎝ 1− r + ( 2dr)
Se il moto della massa è generato dalla presenza di una forzante
del tipo visto nel caso a) del § 12, il valore massimo di F t lo avre-
2
⎞
⎟
⎠