Matematica C3 – Algebra 1 - itis magistri cumacini

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Algebra 1 – 3. Calcolo letterale►7. Prodotti notevoliCon l’espressione prodotti notevoli si indicano alcune identità che si ottengono in seguito allamoltiplicazione di polinomi aventi caratteristiche particolari facili da ricordare.Quadrato di un binomioConsideriamo il binomio A+B in cui A e B rappresentano due monomi ed analizziamo che cosa succedemoltiplicando il binomio per se stesso, eseguendo cioè la moltiplicazione AB AB che sotto forma di potenza si scrive AB 2 . AB 2 = AB AB=A 2 ABBAB 2 = A 2 2 ABB 2Pertanto, senza effettuare i passaggi intermedi si ha(1) AB 2 =A 2 2 ABB 2Espressa nel linguaggio comune: il quadrato di un binomio è uguale alla somma tra il quadrato delprimo termine, il quadrato del secondo termine e il doppio prodotto del primo termine per il secondo.Analizzando il prodotto ottenuto si può notare che è costituito da tre termini ed in particolare due terminisono costituiti dal prodotto di ciascun monomio per se stesso, un termine è costituito dal prodotto dei duemonomi moltiplicato a sua volta per 2.Nella identità precedente, A e B rappresentano due monomi qualsiasi, quindi la scrittura AB deveintendersi come somma algebrica di due monomi che, rispetto al segno, possono essere concordi o discordi.Ne consegue che: A 2 e B 2 sono sempre positivi perché prodotto di fattori uguali e quindiconcordi.ab 2AB è positivo se A e B sono concordi, negativo se sono discordi.È possibile dare anche un’interpretazione geometrica della formulaa 2 ba AB 2 =A 2 2 ABB 2 sostituendo A e B rispettivamente con lemisure a e b di due segmenti.Prendiamo due segmenti di lunghezza a e b, portiamo a coincidere il secondoestremo del segmento lungo a con il primo estremo del segmento dilunghezza b: in questo modo otteniamo un segmento di lunghezza ab .b 2abCostruiamo il quadrato di lato ab , il quale avrà area ab 2 , edividiamolo come nella figura a fianco.Puoi notare che il quadrato di lato ab è composto da due quadrati diarea rispettivamente a 2 e b 2 e da due rettangoli di area ab. Di conseguenzal’area del quadrato è uguale a: ab 2 =a 2 b 2 abab=a 2 b 2 2 ab .262 (3x + y) 2 = (3x) 2 + 2(3x)(y) + (y) 2 = … … ...263 (-2x + 3y) 2 = (-2x) 2 + 2(-2x)(3y) +(3y) 2 = … … …264 (-3x -5y) 2 = (-3x) 2 + 2(-3x)(-5x)+(-5x) 2 = … … …265 (3x - y) 2 = (3x) 2 +2(3x)(-) + (- y) 2 = … … …266 2 x3 y 2 =2 x 2 2⋅2 x 3 y 3 y 2 =267 x 2 − 1 2 y 2 =x 2 2⋅ − −1 2 y =Riconosci quali dei seguenti polinomi sono quadrati di binomi268 a 2 4 ab4 b 2 SI NO a 2 −2 ab−b 2 SI NO269 25 a 2 −15ab3b SI NO a 6 b 4 2a 3 b 2 SI NO270 25 a 2 4b 2 −20ab 2 SI NO494 a4 −21 a 2 b 2 9b 2 SI NO14 a6 1 9 b4 1 6 a3 b 2 SI NO271 −25a 4 − 116 b4 5 2 a 2 b 2 SI NOCompleta in modo da formare un quadrato di binomio272 916 x2 ...... y 2 x 2 + 2x + ….. 4x 2 y 2 – 2xyz ….......205