Matematica C3 – Algebra 1 - itis magistri cumacini

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Algebra 1 – 8. Vettori e trigonometria►2. Operazioni con i vettoriNel punto A del piano sono applicati due vettori u e v : dall’estremo B sitraccia la retta parallela ad AC e da C la parallela ad AB e si indica con Dil loro punto di intersezione.Il vettore AD individuato dalla diagonale AD del parallelogrammo è lasomma dei vettori u e v , e si scrive w = u + v .figura 1Nota storica. Nella sua opera “Philosophiae naturalis principia mathematica” del 1682, Isaac Newton (1642-1727) nel primo corollario alle leggi del moto, scrive: “un corpo spinto da due forze congiunte descriverà ladiagonale di un parallelogrammo nello stesso tempo nel quale descriverebbe separatamente i lati”.4 Provate a giustificare la seguente affermazione: “L’operazione di addizione definita secondo la regoladel parallelogrammo gode della proprietà commutativa”.Illustriamo con un esempio che vale anche la proprietà associativa; dimostriamo che valeu + v + w = u + v +( ) ( ) wfigura 2Nella figura 2 è realizzata la costruzionev w =k e uk =jNella figura 3 è realizzata lacostruzioneuv =z e z w =jsovrapponendo le due figure sipuò constatare che i vettori jrisultanti coincidono.Osserviamo che la validità della proprietà associativa ci permettedi costruire la somma di più vettori.Per come è definita l’operazione di somma, pensando al vettore come rappresentante di uno spostamento dalprimo estremo al secondo, possiamo interpretare la figura 1 come lospostamento di un punto prima da A fino a B e poi da questo fino a D,figura 4essendo BD un vettore equipollente ad AC . Quindi possiamoaffermare che il vettore somma di due vettori u e v si puòdeterminare prendendo due vettori AB e BC rispettivamenteequipollenti ai dati; se AB≡u e BC ≡v (figura 4) allora la somma è il vettore AC , avente A comeprimo estremo e C, ultimo estremo del secondo vettore, come secondo estremo.Pertanto la somma di più vettori si può semplicemente determinare scegliendo per ogni addendo il vettoreequipollente avente il primo estremo nell’estremo finale dell’addendo precedente: la somma è il vettoreavente il primo estremo nel punto iniziale del primo addendo e l’estremo finale nel secondo estremodell’ultimo addendo zabc=s (figura5)Abbiamo visto come si costruisce geometricamente il vettore sommadi vettori; vediamo come si determinano le componenti del vettoresomma se la questione è posta nel riferimento cartesiano ortogonale.figura 3Esempiofigura 5Nel piano dotato di riferimento cartesiano ortogonale costruiamo ilvettore somma dei vettori u1,2 e v 3 ;−1 e determiniamonele componenti.Strategia risolutiva: costruiamo il vettore wequipollente al vettore vapplicato al punto A; determiniamo il punto D(4,1) costruiamo il vettore z=u w di coordinate z 4 ; 1396