Matematica C3 – Algebra 1 - itis magistri cumacini

www.matematicamente.it - Matematica C3 – Algebra1 – 5. Scomposizioni e frazioni►11. Scomposizione mediante metodi combinatiNei paragrafi precedenti abbiamo analizzato alcuni metodi per ottenere la scomposizione in fattori di unpolinomio e talvolta abbiamo mostrato che la scomposizione si ottiene combinando metodi diversi.Sostanzialmente non esiste una regola generale per la scomposizione di polinomi, cioè non esistono criteri didivisibilità semplici come quelli per scomporre un numero nei suoi fattori primi. In questo paragrafovediamo alcuni casi in cui si applicano vari metodi combinati tra di loro..Un buon metodo per ottenere la scomposizione è procedere tenendo conto di questi suggerimenti:1. analizzare se si può effettuare un raccoglimento totale;2. contare il numero di termini di cui si compone il polinomio:2.1.con due termini analizzare se il binomio èa) una differenza di quadrati A 2 −B 2 =A−B ABb) una somma di cubi A 3 −B 3 = A−BA 2 ABB 2 c) una differenza di cubi A 3 B 3 = ABA 2 −ABB 2 d) una somma di quadrati o di numeri positivi nel qual caso è irriducibile A 2 B 22.2.con tre termini analizzare se èa) un quadrato di binomio A 2 ±2ABB 2 =A±B 2b) un trinomio particolare del tipo x 2 SxP=xaxb con ab=S ; a⋅b= Pc) un falso quadrato, che è irriducibile A 2 ±ABB 22.3.con quattro termini analizzare se èa) un cubo di binomio A 3 ±3 A 2 B3 AB 2 ±B 3 =A±B 3b) una particolare differenza di quadrati A 2 ±2ABB 2 −C 2 = A±BCA±B−Cc) possibile un raccoglimento parziale axbxay by =ab xy2.4.con sei termini analizzare se èa) un quadrato di trinomio A 2 B 2 C 2 2 AB2 AC2BC=ABC 2b) possibile un raccoglimento parziale axbx cx ay by cy =abcxy 3. se non riuscite ad individuare nessuno dei casi precedenti, provate ad applicare la regola di RuffiniRicordiamo infine alcune formule per somma e differenza di potenze dispariA 5 + B 5 = A + B A 4 − A 3 B + A 2 B 2 − AB 3 + B4( )( )( )( )A − B = A − B A + A B + A B + AB + B5 5 4 3 2 2 3 4A 7 ± B 7 = A±B A 6 ∓ A 5 BA 4 B 2 ∓A 3 B 3 A 2 B 4 ∓ A B 5 B 6 A 11 −B 11 = A−B A 10 A 9 B A 8 B 2 A 7 B 3 A 6 B 4 A 5 B 5 A 4 B 6 A 3 B 7 A 2 B 8 A B 9 B 10 … … … ...La differenza di due potenze ad esponente pari (uguale o diverso) rientra nel caso della differenza diquadrati:A 8 − B 10 = A 4 −B 5 A 4 B 5 In alcuni casi si può scomporre anche la somma di potenze pari:A 6 B 6 = A 2 3 B 2 3 = A 2 B 2 A 4 − A 2 B 2 B 4 A 10 + B 10 = A 2 + B 2 A 8 − A 6 B 2 + A 4 B 4 − A 2 B 6 + B8( )( )Proponiamo di seguito alcuni esercizi svolti o da completare in modo che possiate acquisire unacerta abilità nella scomposizione di polinomi261