Matematica C3 – Algebra 1 - itis magistri cumacini

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Algebra 1 – 8. Vettori e trigonometria3° CasoL’ultimo teorema che esaurisce il problema della risoluzione di un triangolo qualunque è il teorema dei senio di Euler che afferma che in un triangolo qualsiasi risulta costante il rapporto fra la lunghezza di un lato e ilaseno dell’angolo che gli è opposto. In formule:sin = bsin = csin ProblemaRisolvere il triangolo ABC sapendo che a = 7.52m, β = 98°, γ = 27°Strategia risolutiva:Possiamo immediatamente determinare il terzo angolo α =180°-(98°+27°)=55°. Per determinare i lati b e caapplichiamo il teorema di Euler:sin = bsin = c ;sin considerando la prima uguaglianza otteniamo7,52sin55 ° = b b= 7,527,52⋅sin 98 ° ≃sin 98 ° sin 55 ° 0,8192 ⋅0,9902≃9,0897 mconsiderando l’uguaglianza tra il primo e l’ultimo rapporto otteniamo7,52sin 55 ° = c c= 7,52 ⋅sin 27 ° ≃4,1674 msin 27 ° sin 55 ° Riflessioni sull’uso del teorema dei seniProblemaRisolvere il triangolo ABC sapendo che a=20cm, c=13cm e γ=36°Dati: a= 20cm, c=13cm, γ=36°Obiettivo: ? b, α, βGli elementi noti non rispecchiano le condizioni sufficienti di alcuno dei criteri di congruenza, ma possiamousare il teorema dei seni che ci assicura che in qualunque triangolo si haasin = bsin = c20e quindisin sin = 1320⋅sin 36 ° sin = ≃0,9043sin 36 ° 13e dunque con la funzione inversa sin −1 0,9043 possiamo ricavare l’angolo α≅ 64° e dunque β≅ 80°Sembrerebbe tutto corretto, ma abbiamo trascurato il fatto che angoli supplementari hanno lo stesso senodunque da sin −1 0,9043 si può ottenere α≅ 64° oppure α≅ 116°, e dunque il triangolo non èunivocamente determinato. Proseguendo nel ragionamento avremmo:I° caso: α≅ 64° quindi il triangolo è acutangolo e β≅ 80°; possiamo determinare b applicando nuovamente il13teorema dei senisin36 ° = b 13⋅0,9848 b= ≃21 cmsin 80 ° 0,5877II°caso: α≅ 116° quindi il triangolo è ottusangolo e β≅ 28°; e come sopra si avrà13sin 36 ° = b 13⋅0,4694 b= ≃10 cmsin 28 ° 0,5877Il problema ha due soluzioni.ProblemaRisolvere il triangolo ABC sapendo che α= 124°, a=26m., b=12m.Dati: α= 124°, a=26m., b=12mObiettivo: ? c, β, γL’angolo noto, opposto al lato a, è ottuso.13Applichiamo il teorema dei seni:sin 124 ° = 1212⋅sin 124 ° sin = ≃sin 26In questo caso non ci sono dubbi: un triangolo non può avere due angoli ottusi. Potete completare voi lasoluzione e otterrete β≅……. quindi γ≅ ……. e infine c≅ ………416