Matematica C3 â Algebra 1 - itis magistri cumacini

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Algebra 1 – 6. Algebra di 1° grado87 Osservando i due membri dell'equazione, senza svolgere i calcoli, puoi subito affermare che nonesiste alcun numero reale che rende vera l'uguaglianza? 2 x−4 x 2 7 6 1=−x 2 −5 x7 488 Quale numero occorre aggiungere a numeratore e denominatore della frazione tre settimi perchè essaraddoppi di valore?R. [x=21]89 Quale numero occorre aggiungere a numeratore e denominatore della frazionedue settimi perchè essa triplichi di valore?R. {x=28]90 Due amici A e B partono con le loro automobili nello stesso istante da due località diverse; A fa unviaggio di 100 Km a una certa velocità, B fa un viaggio di 132 Km ad una velocità che supera quelladell’amico di 20 Km/h. I due amici arrivano nello stesso istante all’appuntamento.Traccia di soluzione1. Se A e B partono insieme e arrivano insieme significa che hanno impiegato lo stesso tempo per fare ilproprio viaggio;2. il tempo è dato dal rapporto tra lo spazio percorso e la velocità;3. la velocità di A è l’incognita del problema: la indichiamo con x;4. l’equazione risolvente è110x = 132x 20 .Prosegui nella risoluzione.91 Per percorrere 480Km un treno impiega 3 ore di più di quanto impiegherebbe un aereo a percorrere1920 Km. L’aereo viaggia ad una velocità media che è 8 volte quella del treno. Qual è la velocità del treno?293
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Algebra 1 – 6. Algebra di 1° grado►3. Equazioni letteraliQuando si risolvono problemi, ci si ritrova a dover tradurre nel linguaggio simbolico delle proposizioni deltipo: Un lato di un triangolo scaleno ha lunghezza pari a k volte la lunghezza dell’altro e la loro somma èpari a 2k.Poiché la lunghezza del lato del triangolo non è nota, ad essa si attribuisce il valore incognito x e quindi laproposizione viene tradotta dalla seguente equazione: xk x = 2 k .È possibile notare che i coefficienti dell’equazione non sono solamente numerici, ma compare una letteradell’alfabeto diversa dall’incognita. Qual è il ruolo della lettera k?Essa prende il nome di parametro ed è una costante che rappresenta dei numeri fissi, quindi, può assumeredei valori prefissati. Ogni volta che viene fissato un valore di k, l’equazione precedente assume una diversaforma. Infatti si ha:Valore di kEquazione corrispondentek =0 x=0k =2 x2 x =4k =− 1 2x− 1 2 x=−1Si può quindi dedurre che il parametro diventa una costante, all’interno dell’equazione nell’incognita x, ognivolta che se ne sceglie il valore.Si supponga che il parametro k assuma valori all’interno dell’insieme dei numeri reali. Lo scopo è quello dirisolvere l’equazione, facendo attenzione a rispettare le condizioni che permettono l’uso dei principid’equivalenza e che permettono di ridurla in forma normale.Riprendiamo l'equazione xk x = 2 k , raccogliamo a fattore comune la x si ha k 1 x=2 k .Per determinare la soluzione di questa equazione di primo grado, è necessario utilizzare il secondo principiod’equivalenza e dividere ambo i membri per il coefficiente k 1 .Si ricordi però che il secondo principio ci permette di moltiplicare o dividere i due membri dell'equazioneper una stessa espressione, purché questa sia diversa da zero.Per questa ragione, nella risoluzione dell’equazione k 1 x=2 k è necessario distinguere i due casi:• se k 1≠0 , cioè se k ≠− 1 , è possibile dividere per k 1 e si ha x= 2 kk 1 ;• se k 1=0 , cioè se k =− 1 , sostituendo tale valore all'equazione si ottiene l’equazione−11 x=2⋅−1 , cioè 0⋅x=− 2 che risulta impossibile.Riassumendo si ha:xk x = 2 k con k ∈RCondizioni sul parametro Soluzione Equazionek =−1 nessuna Impossibilek ≠−1x= 2 kk 1DeterminataRitorniamo ora al problema sul triangolo isoscele, spesso nell’enunciato del problema sono presenti dellelimitazioni implicite che bisogna trovare. Infatti, dovendo essere x un lato del triangolo esso sarà un numeroreale positivo. Di conseguenza, dovendo essere l’altro lato uguale a k volte x, il valore di k devenecessariamente essere anch'esso positivo, ovvero k 0 . Di conseguenza il parametro k non può maiassumere il valore −1 e quindi il problema geometrico ammette sempre una soluzione.Questa analisi effettuata sui valori che può assumere il parametro k, prende il nome di discussionedell’equazione.294
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